MathTime

de **Laurențiu Ploscaru** » Lun Sep 05, 2011 10:15 pm

Curs susținut de domn profesor Flavian Georgescu.

Problema 1 Rezolvați în numere prime ecuația: p^3-q^5=(p+q)^2

.

Problema 2 Rezolvați în $\Bbb{Z}$ ecuația: x^2-2^y=2021

.

Problema 3 Rezolvați în $\Bbb{N}$ ecuația: 3^x-5^y=z^2

.

Problema 4 Rezolvați în $\Bbb{Z}$ ecuația: x^2+5=3^n

.

Problema 5 Rezolvați în $\Bbb{N}$ ecuația: 3^x+4^y=5^z

.

Problema 6 Rezolvați în $\Bbb{N}$ ecuația: x^3+7=y^2

.

Problema 7 Rezolvați în numere impare ecuația: $x^n+2^{n-1}=y^2$ .

Eventualele soluții se vor pune la link-urile corespunzătoare.

de **Bogdan Stanoiu** » Mar Sep 06, 2011 6:26 am

2) Pentru y<0 x nu are cum sa fie intreg
Daca y>2 rezulta ca 2^y se divide cu 8 si ar rezulta ca x^2 trebuie sa dea restul 5 la impartirea cu 8 ceea c e nu se poate.
Deci y poate lua valorile 0;1;2
Se verifica pentru fiecare caz daca exista solutii si ce solutii exista

de **Bogdan Stanoiu** » Mar Sep 06, 2011 6:40 am

4)Daca n<0 rezulta ca x nu este intreg.
Deci n este natural
Din considerente legate de modulo 4 , n trebuie sa fie par.
Deci n=2m
Avem ca 3^(2m)-x^2=5 adica
(3^m-x)(3^m+x)=5.......

de **bilalkaan** » Mie Sep 07, 2011 6:27 pm

La subpunctul

adunam

si rezulta x^3+8=y^2+1

care e echivalenta cu (x+2)(x^2-2x+4)=y^2+1

si x e impar.Numarul (x-1)^2+3

e de forma 4m^2+3

care are un divizor prim de forma p=4k+3

.Ne rezulta p/1

.

de **bilalkaan** » Mie Sep 07, 2011 6:37 pm

La subpunctul

luam ecuatia modulo

si presupunem ca numerele sunt $\ge5$ de unde ne iese contradictia si avem solutia p=7,q=3

.La subpunctul

ne iese

,dupa care luam ecuatia mod4

si ne iese si x=2b

.

si

si

si

.Ne va rezulta ca unica solutie e x=2,y=1,z=2

.

de **anamariaradu** » Joi Feb 07, 2013 9:26 pm

5) Cum

si

deducem ca $5^z=M_3+1 \implies z=$ par. Fie z=2a

. Avem:

Consideram 3^n=(5^a-2^y)si 3^m=(5^a+2^y)

, cu

. Prin adunare:
$2\cdot 5^a=3^n(3{m-n}+1). \implies n=0$ . Inlocuind avem:
5^a-2^y=1

.(de unde

)
Ultima cifra a lui 5^a

este

si deci ultima cifra a lui 2^y

este $4 \implies y=par$ . Fie y=2c

. Avem:

Pt.

avem

de unde

si

.
Pt. $c\ge 2$ cum $4^c=M_3+1 \implies 5^a=M_3 +2$ de unde

impar . Fie a=2b+1

.
$5\cdot 25^b-4^c=1.$ $\implies M_8+5-M_8=1 \implies$ implosibil!

Singura solutie este x=y=z=2.

de **stoianmihail** » Joi Iul 03, 2014 6:16 pm

La subpunctul 5 avem si solutia separata x=0,y=1

si

din

.

"Ca iata adevarul ai iubit cele nearatate si cele ascunse ale intelepciunii Tale mi-ai aratat" - Psalmul 50
"Hristos ne iubeste pe toti,dragii mei" - Parintele Porfirie

de **ghenghea1** » Sâm Dec 27, 2014 12:41 pm

Problema 7: Ecuatia se mai scrie ca x^n+2^n=y^2+2^n-1...si totul se cam termina aici,deoarece membrul stang este de forma 4m+3,care nu poate divide membrul drept

MathTime

Tabăra MathTime - Ziua II, Congruențe în Z - F. Georgescu

Tabăra MathTime - Ziua II, Congruențe în Z - F. Georgescu

Re: Tabăra MathTime - Ziua II, Congruențe în Z - F. Georgesc

Re: Tabăra MathTime - Ziua II, Congruențe în Z - F. Georgesc

Re: Tabăra MathTime - Ziua II, Congruențe în Z - F. Georgesc

Re: Tabăra MathTime - Ziua II, Congruențe în Z - F. Georgesc

Re: Tabăra MathTime - Ziua II, Congruențe în Z - F. Georgesc

Re: Tabăra MathTime - Ziua II, Congruențe în Z - F. Georgesc

Re: Tabăra MathTime - Ziua II, Congruențe în Z - F. Georgesc

Cine este conectat