Pagina 1 din 1

Un patrulater convex cu anumite proprietati

Scris: Mar Apr 05, 2011 10:40 pm
de Bogoşel Beniamin
Fie un patrulater convex $ABCD$, $M$ mijlocul laturii $BC$ si $N$ mijlocul laturii $CD$. Dreptele $AM$ si $BN$ se intersecteaza in $P$. Daca $\displaystyle \frac{PM}{AM}=\frac{1}{5},\ \frac{PB}{BN}=\frac{2}{5}$ sa se precizeze natura patrulaterului $ABCD$.

Laurentiu Panaitopol

Re: Un patrulater convex cu anumite proprietati

Scris: Lun Mai 23, 2011 7:39 pm
de mihai miculita
INDICATIE: Patrulaterul este un paralelogram!

Re: Un patrulater convex cu anumite proprietati

Scris: Sâm Iun 25, 2011 11:42 am
de Catalin Fetoiu
Hint:Consideram intersectiile perechilor de drepte $(AM,CD), (BN,AD)$ si se aplica teorema lui Menelaos de multe ori pentru a obtine ca simetricul lui $A$ fata de $M$ si simetricul lui $B$ fata de $N$ se afla pe $CD$, respectiv $AD$.

Re: Un patrulater convex cu anumite proprietati

Scris: Mie Aug 24, 2011 10:11 pm
de Calota Dragos
Problema se rezolva foarte usor cu vectori, fara sa ne chinuim cu menelaus ;)

Re: Un patrulater convex cu anumite proprietati

Scris: Vin Mar 23, 2012 8:50 am
de mathmaster
Varianta usoara, pe care o poate face si un copil de clasa a VII -a :

Ducem din P paralela la AB care taie pe BC in T. Atunci triunghiurile MAB si MPT sunt asemenea si rezulta ca MP/AM = MT/BM = PT/AB = 1/5. Din faptul ca MT/MB = 1/5, rezulta ca BT/BC=2/5. Triunghiurile NBC si PBM sunt asemenea deoarece au un unghi comun si PB/BN=BT/BC=2/5, de unde deducem ca PT || NC si PT = 2/5 NC=1/5 CD. Asadar PT || AB, PT || DC, deci AB || CD. Din faptul ca PT = 1/5 AB=1/5 CD rezulta ca AB = CD. Asadar, patrulaterul ABCD are doua laturi oupse congruente si paralele, deci este un paralelogram.