Un patrulater convex cu anumite proprietati

[Bogoşel Beniamin]

Fie un patrulater convex , mijlocul laturii si mijlocul laturii . Dreptele si se intersecteaza in . Daca sa se precizeze natura patrulaterului .

Laurentiu Panaitopol

[mihai miculita]

INDICATIE: Patrulaterul este un paralelogram!

[Catalin Fetoiu]

Hint:Consideram intersectiile perechilor de drepte si se aplica teorema lui Menelaos de multe ori pentru a obtine ca simetricul lui fata de si simetricul lui fata de se afla pe , respectiv .

[Calota Dragos]

Problema se rezolva foarte usor cu vectori, fara sa ne chinuim cu menelaus

[mathmaster]

Varianta usoara, pe care o poate face si un copil de clasa a VII -a :

Ducem din P paralela la AB care taie pe BC in T. Atunci triunghiurile MAB si MPT sunt asemenea si rezulta ca MP/AM = MT/BM = PT/AB = 1/5. Din faptul ca MT/MB = 1/5, rezulta ca BT/BC=2/5. Triunghiurile NBC si PBM sunt asemenea deoarece au un unghi comun si PB/BN=BT/BC=2/5, de unde deducem ca PT || NC si PT = 2/5 NC=1/5 CD. Asadar PT || AB, PT || DC, deci AB || CD. Din faptul ca PT = 1/5 AB=1/5 CD rezulta ca AB = CD. Asadar, patrulaterul ABCD are doua laturi oupse congruente si paralele, deci este un paralelogram.