Fie un patrulater convex $ABCD$, $M$ mijlocul laturii $BC$ si $N$ mijlocul laturii $CD$. Dreptele $AM$ si $BN$ se intersecteaza in $P$. Daca $\displaystyle \frac{PM}{AM}=\frac{1}{5},\ \frac{PB}{BN}=\frac{2}{5}$ sa se precizeze natura patrulaterului $ABCD$.
Laurentiu Panaitopol
Un patrulater convex cu anumite proprietati
-
- Mesaje: 90
- Membru din: Mie Iul 21, 2010 11:37 pm
- Contact:
-
- Mesaje: 1493
- Membru din: Mar Oct 26, 2010 9:21 pm
- Localitate: ORADEA
Re: Un patrulater convex cu anumite proprietati
INDICATIE: Patrulaterul este un paralelogram!
-
- Mesaje: 192
- Membru din: Dum Mai 29, 2011 4:24 pm
Re: Un patrulater convex cu anumite proprietati
Hint:Consideram intersectiile perechilor de drepte $(AM,CD), (BN,AD)$ si se aplica teorema lui Menelaos de multe ori pentru a obtine ca simetricul lui $A$ fata de $M$ si simetricul lui $B$ fata de $N$ se afla pe $CD$, respectiv $AD$.
Fetoiu Cătălin
Elev la C.N. "Iancu de Hunedoara", Hunedoara, clasa a X-a
Elev la C.N. "Iancu de Hunedoara", Hunedoara, clasa a X-a
-
- Mesaje: 94
- Membru din: Mar Aug 23, 2011 4:31 pm
- Localitate: Craiova
Re: Un patrulater convex cu anumite proprietati
Problema se rezolva foarte usor cu vectori, fara sa ne chinuim cu menelaus
Inteligenta artificiala nu se poate compara cu prostia umana.
-
- Mesaje: 60
- Membru din: Vin Mar 23, 2012 8:37 am
Re: Un patrulater convex cu anumite proprietati
Varianta usoara, pe care o poate face si un copil de clasa a VII -a :
Ducem din P paralela la AB care taie pe BC in T. Atunci triunghiurile MAB si MPT sunt asemenea si rezulta ca MP/AM = MT/BM = PT/AB = 1/5. Din faptul ca MT/MB = 1/5, rezulta ca BT/BC=2/5. Triunghiurile NBC si PBM sunt asemenea deoarece au un unghi comun si PB/BN=BT/BC=2/5, de unde deducem ca PT || NC si PT = 2/5 NC=1/5 CD. Asadar PT || AB, PT || DC, deci AB || CD. Din faptul ca PT = 1/5 AB=1/5 CD rezulta ca AB = CD. Asadar, patrulaterul ABCD are doua laturi oupse congruente si paralele, deci este un paralelogram.
Ducem din P paralela la AB care taie pe BC in T. Atunci triunghiurile MAB si MPT sunt asemenea si rezulta ca MP/AM = MT/BM = PT/AB = 1/5. Din faptul ca MT/MB = 1/5, rezulta ca BT/BC=2/5. Triunghiurile NBC si PBM sunt asemenea deoarece au un unghi comun si PB/BN=BT/BC=2/5, de unde deducem ca PT || NC si PT = 2/5 NC=1/5 CD. Asadar PT || AB, PT || DC, deci AB || CD. Din faptul ca PT = 1/5 AB=1/5 CD rezulta ca AB = CD. Asadar, patrulaterul ABCD are doua laturi oupse congruente si paralele, deci este un paralelogram.