MathTime

Fie un patrulater convex si un cerc interior lui. Sa se arate ca diametrul cercului ste mai mic decat fiecare dintre diagonalele patrulaterului.

Laurentiu Panaitopol

Se ia un diametru al cercului paralel cu una dintre diagonale. O prelungim pana intersecteaza laturile patrulaterului. Segmentul astfel construit are lungimea cel putin egala cu a diametrului. Este usor de observat ca orice segment cu varfurile pe laturile unui poligon paralel cu o diagonala are lungimea cel mult egala cu a diagonalei (pentru asta se considera unul din triunghiurile determinate de diagonala care are pe bord segmentul si se aplica teorema fundamentala a asemanarii).