Pagina 1 din 1
Test selectie Timisoara 1987
Scris: Mar Apr 05, 2011 10:18 pm
de Bogoşel Beniamin
Fie $a,b,c \in \Bbb{Z}$ astfel incat $a+b+c |a^2+b^2+c^2$. Demonstrati ca exista o infinitate de numere naturale $n$ astfel incat $a+b+c |a^n+b^n+c^n$.
Laurentiu Panaitopol
Re: Test selectie Timisoara 1987
Scris: Lun Aug 08, 2011 3:36 pm
de Stefan Spataru
Vom demonstra rezultatul prin inductie.
Notam intai prin $a^t+b^t+c^t=S_t$ si $a^tb^t+a^tc^t+b^tc^t=N_t$.
Lema: Daca$S_1 |S_n si S_1|S_{2n} \Rightarrow S_1 |S_{4n}$.
Demonstratie: $S_1|S_{2n} \Rightarrow S_1 | S_{4n} +2N_{2n}.$ Dar $S_1 | S_n \Rightarrow S_1 | S_{2n} + 2N_n \Rightarrow S_1 | 2N_n$ $\Rightarrow S_1 | 2N_{2n} + 4S_na^nb^nc^n \Rightarrow S_1 | 2N_{2n}$
Obtinem ca $S_1 | S_4n$.
Prin inductie, problema este rezolvata.