Test selectie Timisoara 1987

forum "in lucru"
Bogoşel Beniamin
Mesaje: 90
Membru din: Mie Iul 21, 2010 11:37 pm
Contact:

Test selectie Timisoara 1987

Mesaj de Bogoşel Beniamin »

Fie $a,b,c \in \Bbb{Z}$ astfel incat $a+b+c |a^2+b^2+c^2$. Demonstrati ca exista o infinitate de numere naturale $n$ astfel incat $a+b+c |a^n+b^n+c^n$.

Laurentiu Panaitopol
Stefan Spataru
Mesaje: 84
Membru din: Dum Mar 27, 2011 10:36 pm

Re: Test selectie Timisoara 1987

Mesaj de Stefan Spataru »

Vom demonstra rezultatul prin inductie.

Notam intai prin $a^t+b^t+c^t=S_t$ si $a^tb^t+a^tc^t+b^tc^t=N_t$.

Lema: Daca$S_1 |S_n si S_1|S_{2n} \Rightarrow S_1 |S_{4n}$.

Demonstratie: $S_1|S_{2n} \Rightarrow S_1 | S_{4n} +2N_{2n}.$ Dar $S_1 | S_n \Rightarrow S_1 | S_{2n} + 2N_n \Rightarrow S_1 | 2N_n$ $\Rightarrow S_1 | 2N_{2n} + 4S_na^nb^nc^n \Rightarrow S_1 | 2N_{2n}$

Obtinem ca $S_1 | S_4n$.

Prin inductie, problema este rezolvata.
Scrie răspuns