Foaie in forma de patrat si un triunghi echilateral

forum "in lucru"

Foaie in forma de patrat si un triunghi echilateral

Mesajde Bogoşel Beniamin » Mar Apr 05, 2011 9:58 pm

Sa se arate ca dintr-o foaie de hartie ın forma de patrat cu latura de 10 cm se poate decupa un triunghi echilateral cu latura de 10,3 cm, dar nu se poate decupa un triunghi echilateral cu latura de 10,4 cm.

Laurentiu Panaitopol
Bogoşel Beniamin
 
Mesaje: 90
Membru din: Mie Iul 21, 2010 11:37 pm

Re: Foaie in forma de patrat si un triunghi echilateral

Mesajde drytime » Mie Apr 06, 2011 9:52 am

Urmatoarea problema a fost data la China Quiz 4 2008: Fie ABCD un dreptunghi cu AB=b si AD=a. Punctele X, Y, Z sunt in interiorul sau pe bordul sau. Determinati ,in functie de a si b maximul distantei minime dintre doua puncte din cele trei.

La inceput vom solutiona acesta problema, dupa care vom vedea cum poate fi aplicata in problema domnului Panaitopol.

WLOG a\geq b. Pentru inceput sa observam ca multimea tuturor triunghiurilor(eventual degenerate) cu varfurile in interiorul sau pe bordul dreptunghiului formeaza o multime compacta, deci pe baza teoremei lui Weierstrass exista un triunghi care atinge maximul minimului distantei. Fie acest triunghi \triangle XYZ

Vom demonstra ca putem alege triunghiul cu varfurile pe bord; altfel exista un varf care e in interior. Fie acest punct X. Notex cu P proiectia lui X pe YZ si cu S intersectia semidreptei (PX cu bordul dreptunghiuli. Avem ca SZ>XZ si SY>XY. pe baza alegerii triunghiului \triangle XYZ si triunghiul \triangle SYZ este maximal, deci putem sa-l inlocuim pe primul cu al doilea.

De acum incolo consideram ca \trinagle XYZ are varfurile pe bord. Avem doua situatii:

i) Exista doua varfuri pe o aceeasi latura (fie ele X si Y).

Aceste doua puncte nu se afla pe AB sau DC: am avea ca XY\leq b si triunghiul cu varfurile in A,\  D s mijlocul laturii BC(acest triunghi il numim \triangle X_1Y_1Z_1 si are minimul laturilor \min\{a,\sqrt{b^2+(\frac{a}{2})^2}\}) ne-ar oferi un minim mai mare (folosim ca a\geq b). deci le consideram pe AD. Fie x,y paralelele prin X,Y la AB. Daca d(Z,x)>\frac{a]{2} si d(Z,y)>\frac{a}{2} avem ca XY<\frac{a}{2} (punctul Z ar fi obligatoriu pe AB sau DC), iar triunghiul \triangle X_1Y_1Z_1 ar oferi din nou un minim mai mare. Asadar cel putin una din inegalitatile d(Z,x)\leq \frac{a}{2} sau d(Z,y)\leq \frac{a}{2} e adevarata, deci \min\{ZX, ZY\}\leq \sqrt{(\frac{a}{2})^2+b^2}. Bineinteles XY<a. Puse una peste alta, obtinem ca in acest caz un triunghi maximal este \triangle X_1Y_1Z_1, cu minimul \min\{a,\sqrt{b^2+(\frac{a}{2})^2}\}

ii) Nu exista doua varfuri pe o aceeasi latura.

Sa consideram ca Z\in AB, X\in AD si Y\in BC. WLOG d(Y,AB)\geq d(X,AB). Atunci putem ca inlocuim pe Y cu C (avem ca CX\geq XY si CZ\geq YZ). Celelalte dispuneri ale punctelor pe laturile drepunghilui duc din nou la un triunghi maximal cu un varf comun cu varfurile dreptunghiului. Asadar, fie Z=C. Deoarece cazul i) a fost deja rezolvat, putem presupune ca X\in (AD) si Y\in (AB). Daca \sqrt{(\frac{a}{2})^2+b^2}\leq a (altfel spus a\geq \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot b) problema e deja rezolvata: una din inegalitatile AX\leq \frac{a}{2} sau DX\leq \frac{a}{2} este adevarata, deci \min\{XY,CX\}\leq \sqrt{(\frac{a}{2})^2+b^2}. Deci triunghiul \triangle X_1Y_1Z_1 este cel care furnizeaza maximul minimului distantei. Deci consideram ca a\leq\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot b. Voi arata ca \triangle CXY este echilateral. Consider ca CX<CY este minimul distantei in acest triunghi (celelelalte cazuri se pot demonstra in mod asemanator). Consider S\in (BY), cu YS=\epsilon foarte mic. Triunghiul \triangle SCX este tot maximal, deoarece SX>XY\geq CX si CS>CY-\epsilon>CX, pentru \epsilon suficient de mic. Acum consider P\in (AX), cu XP=\delta foarte mic. Avem ca CP>CX, PS>SX-\delta>CX, pentru \delta suficient de mic si CS>CX. Atunci minimul distantei in triunghiul \triangle CPS este mai mare decat cel in triunghiul \triangle CXY, contradictie cu maximalitatea lui \traingle CXY. Deci triunghiul \trianle CXY este echilateral. Puntina trigonometrie ne arata ca latura lui este a\cdot \sqrt{1+(\frac{2b-a\sqrt{3}}{a})^2}>a=\min\{a,\sqrt{b^2+(\frac{a}{2})^2}{ si ca acest triunghi exista doar in cazul in care a\leq \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot b. Asadar minimul cerut este a\cdot \sqrt{1+(\frac{2b-a\sqrt{3}}{a})^2}, cand a\leq \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot b si \sqrt{b^2+(\frac{a}{2})^2} in caz contrar.

Revenind la problema noastra, punand a=b=10 obtinem ca maximul minimului este 10\sqrt{1+(2-\sqrt{3})^2, deci triunghiul nostru echilateral are cel mult latura 10,35..., deci nu poate avea latura 10,4. Constructia de mai sus (triunghiul \triangle CXY echilateral), arata ca putem introduce un tringhi echilateral de latura 10\sqrt{1+(2-\sqrt{3})^2, care este aproximativ 10,35>10,3 in interiorul patratului.
drytime
 
Mesaje: 183
Membru din: Lun Iul 19, 2010 4:56 pm


Înapoi la Probleme marca "Panaitopol"

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 1 vizitator

cron