Test Selectie Bucuresti 1991

forum "in lucru"
Bogoşel Beniamin
Mesaje: 90
Membru din: Mie Iul 21, 2010 11:37 pm
Contact:

Test Selectie Bucuresti 1991

Mesaj de Bogoşel Beniamin »

Fie $M=\{A_1,A_2,...,A_5\}$ o multime de puncte in plan astfel incat aria oricarui triunghi cu varfurile in $M$ sa fie de arie mai mare decat $3$. Demonstrati ca exista un triunghi cu varfurile in $M$ cu aria mai mare decat $4$.

Laurentiu Panaitopol
drytime
Mesaje: 183
Membru din: Lun Iul 19, 2010 4:56 pm

Re: Test Selectie Bucuresti 1991

Mesaj de drytime »

O problema asemanatoare (tot a domnului Panaitopol) este urmatoarea (data la al patrulea test de selectie pt juniori in 2002):Fie 5 puncte in plan, astfel incat aria oricarui triunghi format din 3 dintre punctele multimii are aria cel putin 2. Aratati ca exista un triunghi de arie cel putin 3 format din puncte din aceasta multime.

Un rezultat general, care trivializeaza cele 2 probleme, este problema G5 din IMO ISL 2002: Fie $S$ o multime de 5 puncte in plan, oricare 3 necoliniare. Fie $M(S)$ si $m(S)$ aria cea mai mare, respectiv cea mai mica, a unui triunghi cu varfurile in multimea $S$. Determinati valoarea minima a raportului $\frac{M(S)}{m(S)}$.
Scrie răspuns