Pagina 1 din 1

conditia necesara

MesajScris: Mar Aug 14, 2012 8:52 am
de paul stoienescu
Fie un hexagon ABCDEF si M,N,P,Q,R,S, mijloacele laturilor AB,BC,CD,DE,EF,FA. Sa se arate ca o conditie necesara si suficienta ca RN^2=MQ^2+PS^2 este ca MQ si PS sa fie perpendiculare.
Lauretiu Panaitopol

Re: conditia necesara

MesajScris: Mar Aug 14, 2012 1:45 pm
de Laurențiu Ploscaru
Vom nota afixul unui punct cu litera mică corespunzătoare. Relația RN^2=MQ^2+PS^2 se rescrie:
|\dfrac{b+c-e-f}{2}|^2=|\dfrac{a+b-d-e}{2}|^2+|\dfrac{c+d-a-f}{2}|^2\Leftrightarrow |b+c-e-f|^2=|a+b-d-e|^2+|c+d-a-f|^2\Leftrightarrow

|b|^2+|c|^2+|e|^2+|f|^2+b\cdot \overline{c}+c\cdot \overline{b}+e\cdot \overline{f}+f\cdot \overline{e} -b\cdot \overline{e}-e\cdot \overline{b}-b\cdot \overline{f}-f\cdot \overline{b}-c\cdot \overline{e}-e\cdot \overline{c}-c\cdot \overline{f}-f\cdot \overline{c}=
|a|^2+|b|^2+|d|^2+|e|^2+a\cdot \overline{b}+b\cdot \overline{a}+d\cdot \overline{e}+e\cdot \overline{d} -a\cdot \overline{d}-d\cdot \overline{a}-a\cdot \overline{e}-e\cdot \overline{a}-b\cdot \overline{d}-d\cdot \overline{b}-b\cdot \overline{e}-e\cdot \overline{b}\ +
|c|^2+|d|^2+|a|^2+|f|^2+c\cdot \overline{d}+d\cdot \overline{c}+a\cdot \overline{f}+f\cdot \overline{a} -c\cdot \overline{a}-a\cdot \overline{c}-c\cdot \overline{f}-f\cdot \overline{c}-d\cdot \overline{a}-a\cdot \overline{d}-d\cdot \overline{f}-f\cdot \overline{d}\Leftrightarrow

0=2|a|^2+2|d|^2+a\cdot \overline{b}+b\cdot \overline{a}+d\cdot \overline{e}+e\cdot \overline{d} c\cdot \overline{d}+d\cdot \overline{c}+a\cdot \overline{f}+f\cdot \overline{a}-b\cdot \overline{c}-c\cdot \overline{b}-e\cdot \overline{f}-f\cdot \overline{e}\ -
a\cdot \overline{e}-e\cdot \overline{a}-b\cdot \overline{d}-d\cdot \overline{b}-c\cdot \overline{a}-a\cdot \overline{c}-d\cdot \overline{f}-f\cdot \overline{d}- 2a\cdot \overline{d}-2d\cdot \overline{a}+b\cdot \overline{f}+f\cdot \overline{b}+c\cdot \overline{e}+e\cdot \overline{c}, relație pe care o notăm cu (R).

De asemenea MQ\perp PS\Leftrightarrow MS^2+PQ^2=MP^2+SQ^2, relație care după calcule asemănătoare ca cele de sus este echivalentă cu (R).

Prin urmare cele două condiții sunt echivalente cu (R), deci MQ\perp SP\Leftrightarrow RN^2=MQ^2+SP^2.

Re: conditia necesara

MesajScris: Mar Aug 14, 2012 2:10 pm
de Laurențiu Ploscaru
Să observăm că \overrightarrow{SP}+\overrightarrow{QM}=\overrightarrow{r_C}/2+\overrightarrow{r_D}/2-\overrightarrow{r_A}/2-\overrightarrow{r_F}/2 +\overrightarrow{r_A}/2+\overrightarrow{r_B}/2-\overrightarrow{r_D}/2-\overrightarrow{r_E}/2= \overrightarrow{r_B}/2+\overrightarrow{r_C}/2-\overrightarrow{r_E}-\overrightarrow{r_F}/2=\overrightarrow{RN}.
Deci \overrightarrow{SP}+\overrightarrow{QM}=\overrightarrow{RN}\Rightarrow MQ^2+PS^2+2MQ\cdot PS\cdot \cos \widehat{(QM,SP)}=RN^2.
Prin urmare RN^2=MQ^2+PS^2\Leftrightarrow \cos \widehat{(QM,SP)}=0\Leftrightarrow MQ\perp PS.

Re: conditia necesara

MesajScris: Mar Aug 14, 2012 6:19 pm
de Claudiu Mindrila
Mai exact, deoarece cei trei vectori \overrightarrow{RN}, \overrightarrow{MQ},\ \overrightarrow{PS}au suma nula, lungimile lor formeaza un triunghi. Cerinta problemei se reduce acum la teorema lui Pitagora.