Determinare de numere

forum "in lucru"
mathmaster
Mesaje: 60
Membru din: Vin Mar 23, 2012 8:37 am

Determinare de numere

Mesaj de mathmaster »

Adaptare a undei probleme data de L. Panaitopol la Baraj, Testul II, Timisoara, 1987
Fişiere ataşate
Nr. natural.zip
(45.99 KiB) Descărcat de 394 ori
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești
Contact:

Re: Determinare de numere

Mesaj de Laurențiu Ploscaru »

Pentru $n=1$, numărul dat este natural. Voi demonstra că aceasta este singura valoare a lui $n$ pentru care numărul este natural.
Presupunem că există $n>1$ pentru care $n\mid 3^n-2^n$. Fie $p$ divizorul prim minim al lui $n$. Evident $p>3$.
Fie $a\in \Bbb{N^*}$ a.î. $2a\equiv 1\ (mod\ p)$. Deoarece $2^n\equiv 3^n\ (mod\ p)$, avem $(3a)^n\equiv 1\ (mod\ p)$.
Fie $\gamma_p(3a)=k$, de unde $k\mid p-1\Rightarrow k\le p-1$ și $k\mid n$. Cum $k<p$ și $k\mid n$, trebuie să avem $k=1$ datorită minimalității lui $p$.
Așadar $3a\equiv 1\ (mod\ p)$, iar cum $2a\equiv 1\ (mod\ p)$, trebuie să avem $a\equiv 0\ (mod\ p)$, urmând contradicția $1\equiv 0\ (mod\ p)$.
Prin urmare, singurul număr $n$ cu proprietatea din ipoteză este $1$.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Scrie răspuns