Determinare de numere

forum "in lucru"

Determinare de numere

Mesajde mathmaster » Mie Apr 11, 2012 9:18 pm

Adaptare a undei probleme data de L. Panaitopol la Baraj, Testul II, Timisoara, 1987
Fişiere ataşate
Nr. natural.zip
(45.99 KiB) Descărcat de 215 ori
mathmaster
 
Mesaje: 60
Membru din: Vin Mar 23, 2012 8:37 am

Re: Determinare de numere

Mesajde Laurențiu Ploscaru » Joi Apr 12, 2012 8:58 pm

Pentru n=1, numărul dat este natural. Voi demonstra că aceasta este singura valoare a lui n pentru care numărul este natural.
Presupunem că există n>1 pentru care n\mid 3^n-2^n. Fie p divizorul prim minim al lui n. Evident p>3.
Fie a\in \Bbb{N^*} a.î. 2a\equiv 1\ (mod\ p). Deoarece 2^n\equiv 3^n\ (mod\ p), avem (3a)^n\equiv 1\ (mod\ p).
Fie \gamma_p(3a)=k, de unde k\mid p-1\Rightarrow k\le p-1 și k\mid n. Cum k<p și k\mid n, trebuie să avem k=1 datorită minimalității lui p.
Așadar 3a\equiv 1\ (mod\ p), iar cum 2a\equiv 1\ (mod\ p), trebuie să avem a\equiv 0\ (mod\ p), urmând contradicția 1\equiv 0\ (mod\ p).
Prin urmare, singurul număr n cu proprietatea din ipoteză este 1.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
 
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești


Înapoi la Probleme marca "Panaitopol"

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 1 vizitator

cron