MathTime

de **mathmaster** » Mie Apr 11, 2012 9:18 pm

Adaptare a undei probleme data de L. Panaitopol la Baraj, Testul II, Timisoara, 1987

de **Laurențiu Ploscaru** » Joi Apr 12, 2012 8:58 pm

Pentru

, numărul dat este natural. Voi demonstra că aceasta este singura valoare a lui

pentru care numărul este natural.
Presupunem că există n>1

pentru care $n\mid 3^n-2^n$ . Fie

divizorul prim minim al lui

. Evident

.
Fie $a\in \Bbb{N^*}$ a.î. $2a\equiv 1\ (mod\ p)$ . Deoarece $2^n\equiv 3^n\ (mod\ p)$ , avem $(3a)^n\equiv 1\ (mod\ p)$ .
Fie $\gamma_p(3a)=k$ , de unde $k\mid p-1\Rightarrow k\le p-1$ și $k\mid n$ . Cum k<p

și $k\mid n$ , trebuie să avem k=1

datorită minimalității lui

.
Așadar $3a\equiv 1\ (mod\ p)$ , iar cum $2a\equiv 1\ (mod\ p)$ , trebuie să avem $a\equiv 0\ (mod\ p)$ , urmând contradicția $1\equiv 0\ (mod\ p)$ .
Prin urmare, singurul număr

cu proprietatea din ipoteză este

.

MathTime

Determinare de numere

Determinare de numere

Re: Determinare de numere

Cine este conectat