Pagina 1 din 1

Victor Vâlcovici 2001, clasa a IX-a

Scris: Mar Aug 23, 2011 4:38 pm
de Andrei Comăneci
Se consideră un patrulater convex $ABCD$ și punctele $M\in(BC)$, $N\in(CD)$, astfel încât $\dfrac{CM}{MB}=3$ și $\dfrac{CN}{ND}=2$. Notăm cu $P$ intersecția dreptelor $AM$ și $BN$. Să se arate că: $\dfrac{AP}{PM}=6$ și $\dfrac{BP}{PN}=\dfrac{3}{11}$ dacă și numai dacă $ABCD$ este un paralelogram.

Laurențiu Panaitopol

Re: Victor Vâlcovici 2001, clasa a IX-a

Scris: Mar Aug 23, 2011 6:02 pm
de Calota Dragos
Aceasta este o problema destul de frumoasa si des intalnita.
Notam vectorii AB, BC, CD cu w,u respectiv v.
Obtinem astfel
BN= u + 2v/3 rezulta BP = 3u/14 +6v/42
AM= w + u/4 rezulta PM= w/7 + u/28
Dar BP + PM =BM ceea ce este acum echivalent cu 3u/14 +6v/42 +w/7 +u/28 =u/4 echivalent cu v=-w adica ABCD este paral.
Reciproca nu reprezinta nicio dificultate Notam BN intersectat cu AD cu R de unde din asemanare rezulta AD=2DR si rezulta ca AP=6PM.
Se face constructia analog si pentru AM cu DC si se obtine BP/PN = 3/11

Re: Victor Vâlcovici 2001, clasa a IX-a

Scris: Mie Aug 24, 2011 10:32 am
de Laurențiu Ploscaru
Altfel: Fie $BN\cap AD=\{T\}$ și $AM\cap CD=\{S\}$.

=> $P,M,S$ coliniare, deci cu T lui Menelaus în $\triangle BCN$ avem $\dfrac{BP}{NP}\cdot \dfrac{NS}{CS}\cdot \dfrac{CM}{BM}=1$ <=> $\dfrac{NS}{CS}\cdot \dfrac{3}{11}\cdot 3=1$ <=> $\dfrac{CN}{CS}=\dfrac{2}{9}$, dar $\dfrac{DN}{CN}=\dfrac{1}{2}$ => $\dfrac{CD}{CS}=\dfrac{1}{3}$.
$B,M,C$ coliniare, deci cu T lui Menelaus în $\triangle PSN$ avem $\dfrac{NB}{PB}\cdot \dfrac{SC}{NC}\cdot \dfrac{PM}{SM}=1$ <=> $\dfrac{PM}{SM}\cdot \dfrac{14}{3}\cdot \dfrac{9}{2}=1$ <=> $\dfrac{PM}{SM}=\dfrac{1}{21}$, dar $\dfrac{AM}{PM}=7$ => $\dfrac{AM}{SM}=\dfrac{1}{3}$.
Din ultimele 2 relații, prin R T lui Thales => $\boxed{AD\parallel BC}$.
Din demonstrație $\dfrac{SM}{PM}=21$ => $\dfrac{SP}{PM}=22$, dar $\dfrac{PM}{AP}=\dfrac{1}{6}$ => $\dfrac{AP}{SP}=\dfrac{3}{11}$, dar și $\dfrac{BP}{PN}=\dfrac{3}{11}$, deci $\triangle APB\sim \triangle SPN$ (L.U.L) => $<PAB\equiv <PSC$ (alt. int.) => $\boxed{AB\parallel CD}$.
Deci $ABCD$ e paralelogram.

<= Evident $\triangle BCN\sim \triangle TDN$ (TFA) => $\dfrac{BC}{DT}=\dfrac{CN}{DN}=2$ => $\dfrac{BC}{AT}=\dfrac{2}{3}$, dar $\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{1}{4}$ => $\dfrac{AT}{BM}=6$, iar cum $\triangle ATP\sim \triangle MBP$ => $\dfrac{AP}{PM}=\dfrac{AT}{BM}=6$.
Evident $\triangle SCM\sim \triangle ABM$ => $\dfrac{SM}{AM}=\dfrac{CM}{BM}=3$, dar $\dfrac{AM}{PM}=7$ => $\dfrac{PM}{SP}=\dfrac{1}{22}$, dar $\dfrac{AP}{PM}=6$ => $\dfrac{AP}{SP}=\dfrac{3}{11}$, iar cum $\triangle ABP\sim \triangle SNP$ => $\dfrac{BP}{PN}=\dfrac{AP}{SP}=\dfrac{3}{11}$.

Re: Victor Vâlcovici 2001, clasa a IX-a

Scris: Mie Aug 24, 2011 10:46 am
de Andrei Comăneci
Calota Dragos scrie:Aceasta este o problema destul de frumoasa si des intalnita.
Notam vectorii AB, BC, CD cu w,u respectiv v.
Obtinem astfel
BN= u + 2v/3 rezulta BP = 3u/14 +6v/42
AM= w + u/4 rezulta PM= w/7 + u/28
Dar BP + PM =BM ceea ce este acum echivalent cu 3u/14 +6v/42 +w/7 +u/28 =u/4 echivalent cu v=w adica ABCD este paral.
Reciproca nu reprezinta nicio dificultate Notam BN intersectat cu AD cu R de unde din asemanare rezulta AD=2DR si rezulta ca AP=6PM.
Se face constructia analog si pentru AM cu DC si se obtine BP/PN = 3/11
S-a precizat că $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{w}$, dar corect este $\overrightarrow{v}=-\overrightarrow{w}$, deoarece, după cum s-a precizat, din $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ rezultă $ABDC$ paralelogram, deci o ordine greșită. Rezolvarea este bună, dar ai uitat să pui minus în fața lui $\overrightarrow{w}$ și, deoarece la vectori ordinea contează, ai ajuns la o relație falsă. Totul s-a făcut din neatenție și e bine să fim mai atenți altă dată când dăm o soluție.

Re: Victor Vâlcovici 2001, clasa a IX-a

Scris: Mie Aug 24, 2011 3:44 pm
de Calota Dragos
da, este adevarat am uitat sa pun un minus , totusi rezolvarea ramane valabila :)

Re: Victor Vâlcovici 2001, clasa a IX-a

Scris: Dum Oct 09, 2011 4:30 pm
de Virgil Nicula
An easy extension. Let $ABCD$ be a convex quadrilateral. Consider the points $M\in(BC)\ ,\ N\in(CD)$ so that $\frac{MB}{MC}=m\ ,$

$\frac{ND}{NC}=n$ . Denote$P\in AM\cap BN$ , $\frac{PA}{PM}=x$ and $\dfrac{PB}{PN}=y$ . Prove that $ABCD$ is a parallelogram $\iff \frac {x+1}{y+1}=\frac {n+1}{y}=\frac {m}{m-y}$ .