Victor Vâlcovici 2001, clasa a IX-a

forum "in lucru"

Victor Vâlcovici 2001, clasa a IX-a

Mesajde Andrei Comăneci » Mar Aug 23, 2011 4:38 pm

Se consideră un patrulater convex ABCD și punctele M\in(BC), N\in(CD), astfel încât \dfrac{CM}{MB}=3 și \dfrac{CN}{ND}=2. Notăm cu P intersecția dreptelor AM și BN. Să se arate că: \dfrac{AP}{PM}=6 și \dfrac{BP}{PN}=\dfrac{3}{11} dacă și numai dacă ABCD este un paralelogram.

Laurențiu Panaitopol
Andrei Comăneci
 
Mesaje: 32
Membru din: Mar Mai 03, 2011 9:00 pm
Localitate: Târgu Jiu

Re: Victor Vâlcovici 2001, clasa a IX-a

Mesajde Calota Dragos » Mar Aug 23, 2011 6:02 pm

Aceasta este o problema destul de frumoasa si des intalnita.
Notam vectorii AB, BC, CD cu w,u respectiv v.
Obtinem astfel
BN= u + 2v/3 rezulta BP = 3u/14 +6v/42
AM= w + u/4 rezulta PM= w/7 + u/28
Dar BP + PM =BM ceea ce este acum echivalent cu 3u/14 +6v/42 +w/7 +u/28 =u/4 echivalent cu v=-w adica ABCD este paral.
Reciproca nu reprezinta nicio dificultate Notam BN intersectat cu AD cu R de unde din asemanare rezulta AD=2DR si rezulta ca AP=6PM.
Se face constructia analog si pentru AM cu DC si se obtine BP/PN = 3/11
Ultima oară modificat de Calota Dragos pe Mie Aug 24, 2011 7:42 pm, modificat 1 dată în total.
Inteligenta artificiala nu se poate compara cu prostia umana.
Calota Dragos
 
Mesaje: 94
Membru din: Mar Aug 23, 2011 4:31 pm
Localitate: Craiova

Re: Victor Vâlcovici 2001, clasa a IX-a

Mesajde Laurențiu Ploscaru » Mie Aug 24, 2011 10:32 am

Altfel: Fie BN\cap AD=\{T\} și AM\cap CD=\{S\}.

=> P,M,S coliniare, deci cu T lui Menelaus în \triangle BCN avem \dfrac{BP}{NP}\cdot \dfrac{NS}{CS}\cdot \dfrac{CM}{BM}=1 <=> \dfrac{NS}{CS}\cdot \dfrac{3}{11}\cdot 3=1 <=> \dfrac{CN}{CS}=\dfrac{2}{9}, dar \dfrac{DN}{CN}=\dfrac{1}{2} => \dfrac{CD}{CS}=\dfrac{1}{3}.
B,M,C coliniare, deci cu T lui Menelaus în \triangle PSN avem \dfrac{NB}{PB}\cdot \dfrac{SC}{NC}\cdot \dfrac{PM}{SM}=1 <=> \dfrac{PM}{SM}\cdot \dfrac{14}{3}\cdot \dfrac{9}{2}=1 <=> \dfrac{PM}{SM}=\dfrac{1}{21}, dar \dfrac{AM}{PM}=7 => \dfrac{AM}{SM}=\dfrac{1}{3}.
Din ultimele 2 relații, prin R T lui Thales => \boxed{AD\parallel BC}.
Din demonstrație \dfrac{SM}{PM}=21 => \dfrac{SP}{PM}=22, dar \dfrac{PM}{AP}=\dfrac{1}{6} => \dfrac{AP}{SP}=\dfrac{3}{11}, dar și \dfrac{BP}{PN}=\dfrac{3}{11}, deci \triangle APB\sim \triangle SPN (L.U.L) => <PAB\equiv <PSC (alt. int.) => \boxed{AB\parallel CD}.
Deci ABCD e paralelogram.

<= Evident \triangle BCN\sim \triangle TDN (TFA) => \dfrac{BC}{DT}=\dfrac{CN}{DN}=2 => \dfrac{BC}{AT}=\dfrac{2}{3}, dar \dfrac{BM}{BC}=\dfrac{1}{4} => \dfrac{AT}{BM}=6, iar cum \triangle ATP\sim \triangle MBP => \dfrac{AP}{PM}=\dfrac{AT}{BM}=6.
Evident \triangle SCM\sim \triangle ABM => \dfrac{SM}{AM}=\dfrac{CM}{BM}=3, dar \dfrac{AM}{PM}=7 => \dfrac{PM}{SP}=\dfrac{1}{22}, dar \dfrac{AP}{PM}=6 => \dfrac{AP}{SP}=\dfrac{3}{11}, iar cum \triangle ABP\sim \triangle SNP => \dfrac{BP}{PN}=\dfrac{AP}{SP}=\dfrac{3}{11}.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
 
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești

Re: Victor Vâlcovici 2001, clasa a IX-a

Mesajde Andrei Comăneci » Mie Aug 24, 2011 10:46 am

Calota Dragos scrie:Aceasta este o problema destul de frumoasa si des intalnita.
Notam vectorii AB, BC, CD cu w,u respectiv v.
Obtinem astfel
BN= u + 2v/3 rezulta BP = 3u/14 +6v/42
AM= w + u/4 rezulta PM= w/7 + u/28
Dar BP + PM =BM ceea ce este acum echivalent cu 3u/14 +6v/42 +w/7 +u/28 =u/4 echivalent cu v=w adica ABCD este paral.
Reciproca nu reprezinta nicio dificultate Notam BN intersectat cu AD cu R de unde din asemanare rezulta AD=2DR si rezulta ca AP=6PM.
Se face constructia analog si pentru AM cu DC si se obtine BP/PN = 3/11


S-a precizat că \overrightarrow{v}=\overrightarrow{w}, dar corect este \overrightarrow{v}=-\overrightarrow{w}, deoarece, după cum s-a precizat, din \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} rezultă ABDC paralelogram, deci o ordine greșită. Rezolvarea este bună, dar ai uitat să pui minus în fața lui \overrightarrow{w} și, deoarece la vectori ordinea contează, ai ajuns la o relație falsă. Totul s-a făcut din neatenție și e bine să fim mai atenți altă dată când dăm o soluție.
Andrei Comăneci
 
Mesaje: 32
Membru din: Mar Mai 03, 2011 9:00 pm
Localitate: Târgu Jiu

Re: Victor Vâlcovici 2001, clasa a IX-a

Mesajde Calota Dragos » Mie Aug 24, 2011 3:44 pm

da, este adevarat am uitat sa pun un minus , totusi rezolvarea ramane valabila :)
Inteligenta artificiala nu se poate compara cu prostia umana.
Calota Dragos
 
Mesaje: 94
Membru din: Mar Aug 23, 2011 4:31 pm
Localitate: Craiova

Re: Victor Vâlcovici 2001, clasa a IX-a

Mesajde Virgil Nicula » Dum Oct 09, 2011 4:30 pm

An easy extension. Let ABCD be a convex quadrilateral. Consider the points M\in(BC)\ ,\ N\in(CD) so that \frac{MB}{MC}=m\ ,

\frac{ND}{NC}=n . DenoteP\in AM\cap BN , \frac{PA}{PM}=x and \dfrac{PB}{PN}=y . Prove that ABCD is a parallelogram \iff \frac {x+1}{y+1}=\frac {n+1}{y}=\frac {m}{m-y} .
Virgil Nicula
 
Mesaje: 244
Membru din: Sâm Oct 30, 2010 3:55 pm
Localitate: Bradenton, Florida


Înapoi la Probleme marca "Panaitopol"

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 1 vizitator

cron