A Constant Sequence of Numbers

forum "in lucru"

A Constant Sequence of Numbers

Mesajde Laurențiu Ploscaru » Joi Aug 04, 2011 8:40 am

Proof that the sequence of positive numbers (a_n)_{n\ge 1}, which satisfies the relation: a_{n+1}=\sqrt{6-2a_n^2}, is constantly.

(Laurențiu Panaitopol)
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
 
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești

Re: A Constant Sequence of Numbers

Mesajde andreiteodor » Lun Aug 08, 2011 6:17 pm

Avem a_{n+1}^2=6-2a_n^2 si apoi :
a_n^2=6-2a{n-1}^2
a^{n-1}^2=6-2a_{n-2}^2 /* (-2)
.
.
.
a_3^2=6-a_2^2 / * (-2)^{n-3}
a_2^2=6-a^1^2 / * (-2)^{n-2}
Adunanad aceste relatii => a_n=6(1+(-2)+(-2)^2+...+(-2)^{n-2})+(-2)^{n-1}a_1^2(-2)^n+2+(-2)^{n-1}a_1^2=(-2)^{n-1}(a_1^2-2)+2.
Daca a_n^2>2 , pentru n suficient de mare a_{2n+1}^2=-2^{2n+1}(a_1^2-2)+2<0, imposibil. Analog contradicitie pentru a_n^2<2. Deci a_n^2=2 => a_n=\sqrt{2}.
Nimic nu-i niciodata asa de simplu cum pare.
andreiteodor
 
Mesaje: 491
Membru din: Joi Mar 17, 2011 3:09 pm
Localitate: Sinesti

Re: A Constant Sequence of Numbers

Mesajde andreiteodor » Mie Aug 10, 2011 7:43 pm

Aceasta problema este din shortlist onm , 2002 , clasa a X-a.
Nimic nu-i niciodata asa de simplu cum pare.
andreiteodor
 
Mesaje: 491
Membru din: Joi Mar 17, 2011 3:09 pm
Localitate: Sinesti


Înapoi la Probleme marca "Panaitopol"

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 1 vizitator

cron