Test selectie 1992

forum "in lucru"

Test selectie 1992

Mesajde Marius Stănean » Joi Mai 19, 2011 8:43 pm

Fie x,y\in\Bbb{R} astfel incat 1\leq{x^2-xy+y^2}\leq2. Sa se arate ca:
a) \displaystyle{\frac{2}{9}}\leq{x^4+y^4}\leq8;
b) x^{2n}+y^{2n}\geq\displaystyle{\frac{2}{3^n}}\; pentru orice n\in\Bbb{N}, n\geq3.

(Baraj 1992)
Quae nocent docent
Marius Stănean
 
Mesaje: 751
Membru din: Mar Iul 13, 2010 7:15 am
Localitate: Zalau

Re: Test selectie 1992

Mesajde Moldovan Bogdan » Joi Iun 16, 2011 9:21 am

Avem :-xy = (-x)y \le \frac{(-x)^2+y^2}{2} = \frac{x^2+y^2}{2} si atunci conform ipotezei avem 1\le x^2+y^2-xy \le x^2+y^2 +\frac{x^2+y^2}{2} = \frac{3}{2}(x^2+y^2) si deci \Rightarrow x^2+y^2 \geq \frac{2}{3}.
Acum avem :\frac{x^{2n}+y^{2n}}{2} = \frac{(x^2)^n+(y^2)^n}{2}\geq (\frac{x^2+y^2}{2})^n\geq \frac{1}{3^n} deci \Rightarrow x^{2n}+y^{2n} \geq \frac{2}{3^n};iar pt. n=2 se obtine prima inegalitate de la punctul a.)
Pentru a doua inegalitate de la punctul a) avem:x^4+y^4 = (x^2 +y^2)^2 - 2x^2y^2iar din ipoteza avem:
0\le x^2+y^2 \le 2+xy \Rightarrow (x^2+y^2)^2 \le 4+4xy+x^2y^2
Mai ramane de demonstrat ca: 4+4xy+x^2y^2 -2x^2y^2 = 4+4xy - x^2y^2 \le 8 \Leftrightarrow (2-xy)^2 \geq 0 Evident.
Moldovan Bogdan
 
Mesaje: 126
Membru din: Sâm Ian 01, 2011 5:05 pm


Înapoi la Probleme marca "Panaitopol"

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 1 vizitator

cron