Tentativa de generalizare

[Bogdan Stanoiu]

Pe formulul Prodidactica am gasit urmatoarea problema :
Sa se determine cel mai mic numar natural $n$ pentru care exista exact 15 perechi$(x;y)$ astfel incat $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}$

http://www.pro-didactica.ro/forum/index ... 8&ID=18121

Gneralizarea pe care am facut-o este urmatoarea :

Fie $p$ si $q$ doua numere prime impare p>q Sa se determine cel mai mic numar natural $n$ pentru care exista exact $pq$ perechi$(x;y)$ astfel incat $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}$

Solutie pentru generalizare:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{n}\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow xy=n(x+y)\Leftrightarrow$
$\Lefrightarrow xy-nx-ny=0\Leftrightarrow$
$\Lefrightarrow xy-nx-ny+n^2=n^2\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow (x-n)(y-n)=n^2$

Ca urmare este necesar ca $x-n$ si $y-n$ sa se afle printre divizorii lui $n^2$ . De remarcat ca $y$ este in mod unic determinat de $x$
Deci numarul de perechi $(x;y)$ solutii ale ecuatiei este egal cu numarul de divizori ai lui $n^2$ iar solutiile sunt de forma $x=n+d;y=n+\frac{n^2}{d};$ cu $d$ parcurgand multimea divizorilor naturali ai lui $n^2$.
Deci este necesar ca $n^2$ sa aiba $pq$ divizori naturali, adica
$\tau (n)=pq$ si avand in vedere ca p si q sunt numere prime rezulta ca $n$ nu poate avea decat cel mult doi factori primi in descompunere si,deoarece cautam pe cel mai mic $n$ cu proprietatea din enunt rezulta ca $n=2^{pq-1}$ sau $n=2^{p-1}3^{q-1}$
Avem ca $2^{pq-1}-2^{p-1}3^{q-1}= 2^{p-1}(2^{pq-p}-3^{q-1})= 2^{p-1}(2^{pq-1}-3^{q-1})>0$
Deci $2^{p-1}3^{q-1}<2^{pq-1}$ si ca urmare valoarea cautata a lui $n$ este $2^{p-1}3^{q-1}$

Ceea ce vreau sa faca este sa determin, pentru $m\in\Bbb{N}$ fixat cel mai mic numar natural n astfel incat sa existe exact m perechi $(x;y)$ astfel incat
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}$ . Aici lucrurile se complica. Este clar ca pentru $m$ par nu avem solutii deoarece orice patrat perfect are un numar impar de divizori naturali. In rest totul depinde de descompunerea lui m si de distributia numerelor prime.
Se pastreaza oare faptul ca valoarea cea mai mica a lui n se obtine atunci cand avem un numar mai mare de factori primi si exponenti mai mici ?