Pe formulul Prodidactica am gasit urmatoarea problema :
Sa se determine cel mai mic numar natural

pentru care exista exact 15 perechi

astfel incat
http://www.pro-didactica.ro/forum/index ... 8&ID=18121Gneralizarea pe care am facut-o este urmatoarea :
Fie

si

doua numere prime impare p>q Sa se determine cel mai mic numar natural

pentru care exista exact

perechi

astfel incat

Solutie pentru generalizare:






Ca urmare este necesar ca

si

sa se afle printre divizorii lui

. De remarcat ca

este in mod unic determinat de

Deci numarul de perechi

solutii ale ecuatiei este egal cu numarul de divizori ai lui

iar solutiile sunt de forma

cu

parcurgand multimea divizorilor naturali ai lui

.
Deci este necesar ca

sa aiba

divizori naturali, adica

si avand in vedere ca p si q sunt numere prime rezulta ca

nu poate avea decat cel mult doi factori primi in descompunere si,deoarece cautam pe cel mai mic

cu proprietatea din enunt rezulta ca

sau

Avem ca

Deci

si ca urmare valoarea cautata a lui

este

Ceea ce vreau sa faca este sa determin, pentru

fixat cel mai mic numar natural n astfel incat sa existe exact m perechi

astfel incat

. Aici lucrurile se complica. Este clar ca pentru

par nu avem solutii deoarece orice patrat perfect are un numar impar de divizori naturali. In rest totul depinde de descompunerea lui m si de distributia numerelor prime.
Se pastreaza oare faptul ca valoarea cea mai mica a lui n se obtine atunci cand avem un numar mai mare de factori primi si exponenti mai mici ?