Tentativa de generalizare

Tentativa de generalizare

Mesajde Bogdan Stanoiu » Sâm Iul 30, 2011 12:24 pm

Pe formulul Prodidactica am gasit urmatoarea problema :
Sa se determine cel mai mic numar natural n pentru care exista exact 15 perechi(x;y) astfel incat \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}

http://www.pro-didactica.ro/forum/index ... 8&ID=18121

Gneralizarea pe care am facut-o este urmatoarea :

Fie p si q doua numere prime impare p>q Sa se determine cel mai mic numar natural n pentru care exista exact pq perechi(x;y) astfel incat \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}

Solutie pentru generalizare:

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}\Leftrightarrow
\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{n}\Leftrightarrow
\Leftrightarrow xy=n(x+y)\Leftrightarrow
\Lefrightarrow xy-nx-ny=0\Leftrightarrow
\Lefrightarrow xy-nx-ny+n^2=n^2\Leftrightarrow
\Leftrightarrow (x-n)(y-n)=n^2

Ca urmare este necesar ca x-n si y-n sa se afle printre divizorii lui n^2 . De remarcat ca y este in mod unic determinat de x
Deci numarul de perechi (x;y) solutii ale ecuatiei este egal cu numarul de divizori ai lui n^2 iar solutiile sunt de forma x=n+d;y=n+\frac{n^2}{d}; cu d parcurgand multimea divizorilor naturali ai lui n^2.
Deci este necesar ca n^2 sa aiba pq divizori naturali, adica
\tau (n)=pq si avand in vedere ca p si q sunt numere prime rezulta ca n nu poate avea decat cel mult doi factori primi in descompunere si,deoarece cautam pe cel mai mic n cu proprietatea din enunt rezulta ca n=2^{pq-1} sau n=2^{p-1}3^{q-1}
Avem ca 2^{pq-1}-2^{p-1}3^{q-1}=
2^{p-1}(2^{pq-p}-3^{q-1})=
2^{p-1}(2^{pq-1}-3^{q-1})>0
Deci 2^{p-1}3^{q-1}<2^{pq-1} si ca urmare valoarea cautata a lui n este 2^{p-1}3^{q-1}

Ceea ce vreau sa faca este sa determin, pentru m\in\Bbb{N} fixat cel mai mic numar natural n astfel incat sa existe exact m perechi (x;y) astfel incat
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n} . Aici lucrurile se complica. Este clar ca pentru m par nu avem solutii deoarece orice patrat perfect are un numar impar de divizori naturali. In rest totul depinde de descompunerea lui m si de distributia numerelor prime.
Se pastreaza oare faptul ca valoarea cea mai mica a lui n se obtine atunci cand avem un numar mai mare de factori primi si exponenti mai mici ?
Bogdan Stanoiu
 
Mesaje: 106
Membru din: Mie Iul 27, 2011 4:59 am

Înapoi la Chat de voie

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 1 vizitator

cron