Concursul Sarighin 2011(Etapa prin corespondenta)

mircea.lascu
Mesaje: 350
Membru din: Lun Iul 12, 2010 9:02 pm

Concursul Sarighin 2011(Etapa prin corespondenta)

Mesaj de mircea.lascu »

Acest concurs este un concurs de GEOMETRIE destinat elevilor din clasele 8-11, care se desfasoara in RUSIA si a ajuns la a 7-a editie.
Termenul limita pentru trimiterea solutiilor problemelor de la acest concurs este 1 aprilie 2011, pentru a nu prejudicia desfasurarea acestui concurs, la problemele postate pe acest topic nu se vor posta solutii inainte de expirarea datei de 1 aprilie 2011.
Prin postarea acestor probleme, dorim sa venim in sprijinul vizitatorilor acestui forum in pregatirea lor in vederea participarii la concursurile de matematica.

1). (clasa 8-a): Exista oare un heptagon convex, care poate fi descompus in $2011$ triunghiuri congruente?
2). (clasa 8-a): In triunghiul $ABC$ notam cu $M$ mijlocul laturii $[BC]$ si cu $H$ proiectia varfului $B$ pe bisectoarea unghiului $A$. Gasiti lungimea segmentului $[MH]$, in cazul in care are $|AB|=4$ si $|AC|=6$.
3). (clasa 8-a): Triunghiul $ABC$ are $m(\angle{BAC})=60^0$. Notam cu $C_1$ punctul de intersectie al laturii $[AC]$ cu mediatoarea laturii $[AB]$; iar cu $B_1$ punctul de intersectie al laturii $[AB]$ cu mediatoarea laturii $[AC]$. Demonstrati ca dreapta $B_1C_1$ este tangenta la cercul inscris al triunghiului $ABC$.
4). (clasa 8-a): In triunghiul $ABC$ ducem bisectoarele $AA^{\prime}, BB^{\prime}, CC^{\prime}$ si fie$\{I\}=AA^{\prime}\cap BB^{\prime}\cap CC^{\prime}$. In cazul in care punctul $I$ este centrul cercului inscris si in triunghiul $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$, triunghiul $ABC$ este in mod obligatoriu echilateral?
5). (clasa 8-a): In triunghiul $ABC$ mediatoarea laturii $[AB]$ intersecteaza o a doua latura a triunghiului in punctul $C^{\prime}$. In mod analog definim punctele $A^{\prime}$ si $B^{\prime}$. Cum trebuie sa fie triunghiul initial, pentru ca triunghiul $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ sa fie echilateral?
6). (clasa 8-a): Doua cercuri congruente $\omega_1$ si $\omega_2$ sunt secante in punctele $A$ si $B$. $M$ este un punct arbitrar al cercului $A$ si $N$ este un punct arbitrar al cercului $B$. Prin punctele $M$ si $N$ mai ducem alte doua cercuri congruente cu primele doua, $\omega_3$ si $\omega_4$; notam apoi cu: $\{C\}=\omega_1\cap \omega_3$ iar cu $\{C\}=\omega_2\cap \omega_4$. Aratati ca $ABCD$ este un paralelogram.
7). (clasa 8-9): Pe laturile $[AB]$ si $[AC]$ ale triunghiului ABC luam punctele $P$ si $Q$, astfel incat sa avem: $[BP]\equiv[CQ]$. Demonstrati ca: $|PQ|<|BC|$.
8). (clasa 8-9): In triunghiul $ABC$ dreptunghic in $B$, notam cu $A_1, B_1, C_1$ punctele de tangenta ale laturilor $[BC], [AC]$ si $[AB]$ cu cercul inscris; iar cu $A_2$ si $C_2$ simetricele punctului $B_1$ fata de dreptele $BC$ si respectiv $AB$. Demonstrati ca punctul de concurenta al dreptelor $A_1A_2, C_1C_2$ se gaseste o mediana a triunghiului $ABC$.
9). (clasa 8-9): Fie $H$ ortocentrul triunghiului $ABC$. Tangentele in punctul $H$ la cercurile circumscrise triunghiurilor $CHB$ si $AHB$ intersecteaza dreapta $AC$ in punctele $A_1$ si respectiv $C_1$. Demonstrati ca $[A_1H]\equiv[C_1H]$.
10). (clasa 8-9): Fie $O$ punctul de intersectie al diagonalelor trapezului $ABCD$. Pe latura neparalela $[CD]$ luam un punct arbitrar $M$. Paralelele duse prin punctul $M$ la diagonalele trapezului intersecteaza bazele $[BC]$ si $[AD]$ in punctele $P$ si $Q$. Demonstrati ca $O\in[PQ]$.
11). (clasa 8-10): Cercul exanscris catetei $[BC]$ a unui triunghi $ABC$, dreptumghic in $B$ este tangent la cateta $[BC]$ in punctul $A_1$ si la prelungirea ipotenuzei $[AC]$ in punctul punctul $A_2$. Dreapta $A_1A_2$ intersecteaza prima oara cercul inscris in triunghiul $ABC$ in punctul $A^{\prime}$; in mod analog definim punctul $C^{\prime}$. Demonstrati ca: $AC\parallel {A^{\prime}C^{\prime}}$.
12). (clasa 8-10): Fie $[AP]$ si $[BQ]$ doua dintre inaltimile triunghiului ascutitunghic $ABC$. Construiti cu ajutorul riglei si a compasului acel punct $M$ al laturii $[AB]$, care are proprietatea: $\angle{AQM}\equiv\angle{BPM}$.
13). a). (clasa 8-10): Gasiti locul geometric al centrului de greutate a triunghiurilor inscrise intr-un triunghi dat (care au fiecare varf pe cate o latura a triunghiului dat).
b). (clasa 11-a): Gasiti locul geometric al centrului de greutate a tetraedrelor inscrise intr-un tetraedru dat (care au fiecare varf in cate o fata a tetraedrului dat).
14). (clasa 9-a): In triunghiul $ABC$ ducem inaltimile $[AH_a], [BH_b]$ si medianele $[AM_a], [BM_b]$. In ipoteza in care bisectoarea unghiului $A$ a triunghiului $\triangle{AH_aM_a}$ este si mediana; iar bisectoarea unghiului $B$ a $\triangle{ABC}$ coincide cu bisectoarea din $B$ a $\triangle{BH_bM_b}$, gasiti rapoartele dintre lungimile laturilor triunghiului $ABC$.
15). (clasa 9-10): Fiind dat un punct $A$, exterior unui cerc cu centrul in $O$ cu raza $1$, ducem tangentele $[AB]$ si $[AC]$ la cercul $(O; 1)$; consideram apoi acel punct $M$ al cercului $(O; 1)$, pentru care are loc: $S_{OBMC}=S_{ABMC}$. Gasiti lungimea segmentului $[MA]$.
16). (clasa 9-10): Fiind dat un triunghi $ABC$ si o dreapta $d$, notam cu $A_1$ punctul de intersectie al simetricelor dreptei $d$ fata de dreptele $AB$ si $AC$. Punctele $B_1$ si $C_1$ sunt definite in mod analog. Demonstrati, ca:
a). Dreptele $AA_1, BB_1, CC_1$ sunt concurente intr-un punct $P$;
b). Punctul $P$ se gaseste pe cercul circumscris triunghiului $ABC$.
17). (clasa 9-11): a). Exista oare un triunghi in care, cea mai scurta mediana este mai lunga decat cea mai lunga bisectoare?
b). Exista oare un triunghi in care, cea mai scurta bisectoare este mai lunga decat cea mai lunga inaltime?
18). (clasa 9-11): Intr-un plan sunt date $n$ drepte in pozitie generala (adica astfel incat: oricare $2$ dintre cele n drepte nu sunt paralele si oricare $3$ dintre ele sa nu fie concurente). Aceste drepte impart planul in mai multe parti. Care este:
a). cel mai mic; b). cel mai mare numar de parti, care sunt unghiuri?
19). (clasa 9-11): Exista oare triunghiuri neisoscele in care: mediana dusa dintr-un varf, bisectoarea dusa dintr-un alt varf si inaltimea dusa din cel de al treilea varf, au aceeasi lungime?
20). (clasa 9-11): In patrulaterul $ABCD$ este circumscris unui cerc cu centrul in $I$, notam cu $M$ si cu $N$ mijloacele diagonalelor $[AC]$ si $[BD]$. Demonstrati ca, patrulaterul $ABCD$ este inscriptibil, atunci si numai atunci, cand: $\frac{|IM|}{|AC|}=\frac{|IN|}{|BD|}$.
21). (clasa 10-11): Pe un semicerc cu diametrul [AC] luam un punct arbitrar $B; B\notin\{A;C\}$. Notam cu M si N mijloacele corzilor [AB] si [AC]; iar cu P si Q mijloacele arcelor corespunzatoare acestor corzi. Notam cu: $\{K\}=AQ\cap{BC}$ si cu $\{L\}=CP\cap{AB}$. Sa se demonstreze, ca dreptele $MQ, NP$ si $KL$ sunt concurente.
22). (clasa 10-11): Din varful $C$ al unui triunghi $AB$C ducem tangentele $[CX]$ si $[CY]$ la cercul determinat de mijloacele laturilor $\triangle{ABC}$ (la, cercul lui EULER). Demonstrati faptul, ca dreptele $XY, AB$ si tangenta in varful $C$ la cercul circumscris triunghiului $ABC$, sunt trei drepte concurente.
23). (clasa 10-11): O dreapta $d$ intersecteaza dreptele suport ale laturilor $[BC], [CA]$ si respectiv $[AB]$, in punctele $A_1, B_1, C_1$. Notam cu $A^{\prime}$ mijlocul segmentului determinat de proiectiile punctului $A_1$ pe dreptele $AB$ si $AC$. In mod analog definim punctele $B^{\prime}$ si $C^{\prime}$.
a). Demonstrati ca punctele $A^{\prime}, B^{\prime}$ si $C^{\prime}$ se gasesc aceeasi dreapta $d^{\prime}$;
b). Aratati, ca daca drepta d trece prin centrul cercului circumscris $\triangle{ABC}$, atunci dreapta $d^{\prime}$ trece prin centrul cercului lui EULER.
24). (clasa 10-11): Fiind dat un triunghi $ABC$, gasiti trei puncte $A^{\prime}\in[BC], B^{\prime}\in{AC}$ si $C^{\prime}\in[AB]$, astfel incat cea mai lunga latura a triunghiului $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ sa aiba lungimea minima!
25). (clasa 10-11): Trei tetraedre regulate au acelasi centru. Se poate intampla ca poliedrul obtinut prin intersectia celor trei tetraedre sa aiba toate fetele congruente?
Avatar utilizator
andreiilie
Mesaje: 108
Membru din: Joi Noi 04, 2010 8:37 pm
Localitate: Ploiesti
Contact:

Re: Concursul Sarighin 2011(Etapa prin corespondenta)

Mesaj de andreiilie »

si cum procedam daca dorim sa participam la acest concurs? cum trimitem subiectele si cui?
Scrie răspuns