Concursul Sarighin 2011(Etapa prin corespondenta)

Concursul Sarighin 2011(Etapa prin corespondenta)

Mesajde mircea.lascu » Joi Dec 30, 2010 8:48 pm

Acest concurs este un concurs de GEOMETRIE destinat elevilor din clasele 8-11, care se desfasoara in RUSIA si a ajuns la a 7-a editie.
Termenul limita pentru trimiterea solutiilor problemelor de la acest concurs este 1 aprilie 2011, pentru a nu prejudicia desfasurarea acestui concurs, la problemele postate pe acest topic nu se vor posta solutii inainte de expirarea datei de 1 aprilie 2011.
Prin postarea acestor probleme, dorim sa venim in sprijinul vizitatorilor acestui forum in pregatirea lor in vederea participarii la concursurile de matematica.

1). (clasa 8-a): Exista oare un heptagon convex, care poate fi descompus in 2011 triunghiuri congruente?
2). (clasa 8-a): In triunghiul ABC notam cu M mijlocul laturii [BC] si cu H proiectia varfului B pe bisectoarea unghiului A. Gasiti lungimea segmentului [MH], in cazul in care are |AB|=4 si |AC|=6.
3). (clasa 8-a): Triunghiul ABC are m(\angle{BAC})=60^0. Notam cu C_1 punctul de intersectie al laturii [AC] cu mediatoarea laturii [AB]; iar cu B_1 punctul de intersectie al laturii [AB] cu mediatoarea laturii [AC]. Demonstrati ca dreapta B_1C_1 este tangenta la cercul inscris al triunghiului ABC.
4). (clasa 8-a): In triunghiul ABC ducem bisectoarele AA^{\prime}, BB^{\prime}, CC^{\prime} si fie\{I\}=AA^{\prime}\cap BB^{\prime}\cap CC^{\prime}. In cazul in care punctul I este centrul cercului inscris si in triunghiul A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}, triunghiul ABC este in mod obligatoriu echilateral?
5). (clasa 8-a): In triunghiul ABC mediatoarea laturii [AB] intersecteaza o a doua latura a triunghiului in punctul C^{\prime}. In mod analog definim punctele A^{\prime} si B^{\prime}. Cum trebuie sa fie triunghiul initial, pentru ca triunghiul A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} sa fie echilateral?
6). (clasa 8-a): Doua cercuri congruente \omega_1 si \omega_2 sunt secante in punctele A si B. M este un punct arbitrar al cercului A si N este un punct arbitrar al cercului B. Prin punctele M si N mai ducem alte doua cercuri congruente cu primele doua, \omega_3 si \omega_4; notam apoi cu: \{C\}=\omega_1\cap \omega_3 iar cu \{C\}=\omega_2\cap \omega_4. Aratati ca ABCD este un paralelogram.
7). (clasa 8-9): Pe laturile [AB] si [AC] ale triunghiului ABC luam punctele P si Q, astfel incat sa avem: [BP]\equiv[CQ]. Demonstrati ca: |PQ|<|BC|.
8). (clasa 8-9): In triunghiul ABC dreptunghic in B, notam cu A_1, B_1, C_1 punctele de tangenta ale laturilor [BC], [AC] si [AB] cu cercul inscris; iar cu A_2 si C_2 simetricele punctului B_1 fata de dreptele BC si respectiv AB. Demonstrati ca punctul de concurenta al dreptelor A_1A_2, C_1C_2 se gaseste o mediana a triunghiului ABC.
9). (clasa 8-9): Fie H ortocentrul triunghiului ABC. Tangentele in punctul H la cercurile circumscrise triunghiurilor CHB si AHB intersecteaza dreapta AC in punctele A_1 si respectiv C_1. Demonstrati ca [A_1H]\equiv[C_1H].
10). (clasa 8-9): Fie O punctul de intersectie al diagonalelor trapezului ABCD. Pe latura neparalela [CD] luam un punct arbitrar M. Paralelele duse prin punctul M la diagonalele trapezului intersecteaza bazele [BC] si [AD] in punctele P si Q. Demonstrati ca O\in[PQ].
11). (clasa 8-10): Cercul exanscris catetei [BC] a unui triunghi ABC, dreptumghic in B este tangent la cateta [BC] in punctul A_1 si la prelungirea ipotenuzei [AC] in punctul punctul A_2. Dreapta A_1A_2 intersecteaza prima oara cercul inscris in triunghiul ABC in punctul A^{\prime}; in mod analog definim punctul C^{\prime}. Demonstrati ca: AC\parallel {A^{\prime}C^{\prime}}.
12). (clasa 8-10): Fie [AP] si [BQ] doua dintre inaltimile triunghiului ascutitunghic ABC. Construiti cu ajutorul riglei si a compasului acel punct M al laturii [AB], care are proprietatea: \angle{AQM}\equiv\angle{BPM}.
13). a). (clasa 8-10): Gasiti locul geometric al centrului de greutate a triunghiurilor inscrise intr-un triunghi dat (care au fiecare varf pe cate o latura a triunghiului dat).
b). (clasa 11-a): Gasiti locul geometric al centrului de greutate a tetraedrelor inscrise intr-un tetraedru dat (care au fiecare varf in cate o fata a tetraedrului dat).
14). (clasa 9-a): In triunghiul ABC ducem inaltimile [AH_a], [BH_b] si medianele [AM_a], [BM_b]. In ipoteza in care bisectoarea unghiului A a triunghiului \triangle{AH_aM_a} este si mediana; iar bisectoarea unghiului B a \triangle{ABC} coincide cu bisectoarea din B a \triangle{BH_bM_b}, gasiti rapoartele dintre lungimile laturilor triunghiului ABC.
15). (clasa 9-10): Fiind dat un punct A, exterior unui cerc cu centrul in O cu raza 1, ducem tangentele [AB] si [AC] la cercul (O; 1); consideram apoi acel punct M al cercului (O; 1), pentru care are loc: S_{OBMC}=S_{ABMC}. Gasiti lungimea segmentului [MA].
16). (clasa 9-10): Fiind dat un triunghi ABC si o dreapta d, notam cu A_1 punctul de intersectie al simetricelor dreptei d fata de dreptele AB si AC. Punctele B_1 si C_1 sunt definite in mod analog. Demonstrati, ca:
a). Dreptele AA_1, BB_1, CC_1 sunt concurente intr-un punct P;
b). Punctul P se gaseste pe cercul circumscris triunghiului ABC.
17). (clasa 9-11): a). Exista oare un triunghi in care, cea mai scurta mediana este mai lunga decat cea mai lunga bisectoare?
b). Exista oare un triunghi in care, cea mai scurta bisectoare este mai lunga decat cea mai lunga inaltime?
18). (clasa 9-11): Intr-un plan sunt date n drepte in pozitie generala (adica astfel incat: oricare 2 dintre cele n drepte nu sunt paralele si oricare 3 dintre ele sa nu fie concurente). Aceste drepte impart planul in mai multe parti. Care este:
a). cel mai mic; b). cel mai mare numar de parti, care sunt unghiuri?
19). (clasa 9-11): Exista oare triunghiuri neisoscele in care: mediana dusa dintr-un varf, bisectoarea dusa dintr-un alt varf si inaltimea dusa din cel de al treilea varf, au aceeasi lungime?
20). (clasa 9-11): In patrulaterul ABCD este circumscris unui cerc cu centrul in I, notam cu M si cu N mijloacele diagonalelor [AC] si [BD]. Demonstrati ca, patrulaterul ABCD este inscriptibil, atunci si numai atunci, cand: \frac{|IM|}{|AC|}=\frac{|IN|}{|BD|}.
21). (clasa 10-11): Pe un semicerc cu diametrul [AC] luam un punct arbitrar B; B\notin\{A;C\}. Notam cu M si N mijloacele corzilor [AB] si [AC]; iar cu P si Q mijloacele arcelor corespunzatoare acestor corzi. Notam cu: \{K\}=AQ\cap{BC} si cu \{L\}=CP\cap{AB}. Sa se demonstreze, ca dreptele MQ, NP si KL sunt concurente.
22). (clasa 10-11): Din varful C al unui triunghi ABC ducem tangentele [CX] si [CY] la cercul determinat de mijloacele laturilor \triangle{ABC} (la, cercul lui EULER). Demonstrati faptul, ca dreptele XY, AB si tangenta in varful C la cercul circumscris triunghiului ABC, sunt trei drepte concurente.
23). (clasa 10-11): O dreapta d intersecteaza dreptele suport ale laturilor [BC], [CA] si respectiv [AB], in punctele A_1, B_1, C_1. Notam cu A^{\prime} mijlocul segmentului determinat de proiectiile punctului A_1 pe dreptele AB si AC. In mod analog definim punctele B^{\prime} si C^{\prime}.
a). Demonstrati ca punctele A^{\prime}, B^{\prime} si C^{\prime} se gasesc aceeasi dreapta d^{\prime};
b). Aratati, ca daca drepta d trece prin centrul cercului circumscris \triangle{ABC}, atunci dreapta d^{\prime} trece prin centrul cercului lui EULER.
24). (clasa 10-11): Fiind dat un triunghi ABC, gasiti trei puncte A^{\prime}\in[BC], B^{\prime}\in{AC} si C^{\prime}\in[AB], astfel incat cea mai lunga latura a triunghiului A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} sa aiba lungimea minima!
25). (clasa 10-11): Trei tetraedre regulate au acelasi centru. Se poate intampla ca poliedrul obtinut prin intersectia celor trei tetraedre sa aiba toate fetele congruente?
mircea.lascu
 
Mesaje: 349
Membru din: Lun Iul 12, 2010 9:02 pm

Re: Concursul Sarighin 2011(Etapa prin corespondenta)

Mesajde andreiilie » Sâm Feb 19, 2011 10:24 pm

si cum procedam daca dorim sa participam la acest concurs? cum trimitem subiectele si cui?
Avatar utilizator
andreiilie
 
Mesaje: 108
Membru din: Joi Noi 04, 2010 8:37 pm
Localitate: Ploiesti


Înapoi la Resurse

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 1 vizitator

cron