Subiectele Finalei SARAGHIN 2012 (din 30.07-2.08)

mihai miculita
Mesaje: 1493
Membru din: Mar Oct 26, 2010 9:21 pm
Localitate: ORADEA

Subiectele Finalei SARAGHIN 2012 (din 30.07-2.08)

Mesaj de mihai miculita »

in limba engleza, le gasiti in attachment in format pdf
Fişiere ataşate
Finala 2012.zip
(963.17 KiB) Descărcat de 355 ori
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești
Contact:

Re: Subiectele Finalei SARAGHIN 2012 (din 30.07-2.08)

Mesaj de Laurențiu Ploscaru »

CLASA A 8-A - ziua 1

Problema 1 Fie $M$ mijlocul bazei $[AC]$ a $\triangle ABC$ ascuțitunghic isoscel. Fie $N$ simetricul lui $M$ față de $[BC]$. Paralela la $AC$ care trece prin $N$ intersectează $[AB]$ în $K$.
Aflați măsura unghiului $\widehat{AKC}$.

Problema 2 Reconstituiți $\triangle ABC$, având dat vârful $A$ și picioarele $B_1$ și $C_1$ ale bisectoarelor unghiurilor $\widehat{ABC}$, respectiv $\widehat{ACB}$.

Problema 3 Un pătrat $ABCD$ se îndoaie după o linie a.î. punctul $C$ ajunge pe latura $[AD]$. Considerăm cercurile înscrise în cele trei triunghiuri mici formate.
Demonstrați că suma razelor a două dintre ele este egală cu raza celui de-al treilea.

Problema 4 Se dă $\triangle ABC$ isoscel cu $m(\widehat{ABC})=120^\circ$. Punctele $P$ și $Q$ se află pe prelungirile laturilor $[AB]$, respectiv $[BC]$, după $B$, a.î. unghiul dintre dreptele $AQ$ și $CP$ e drept.
Arătați că $m(\widehat{PQB})=2m(\widehat{PCQ})$.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești
Contact:

Re: Subiectele Finalei SARAGHIN 2012 (din 30.07-2.08)

Mesaj de Laurențiu Ploscaru »

CLASA A 8-A - ziua 2

Problema 5 Există oare un patrulater convex $ABCD$ și un punct $P$ în interiorul său a.î. $PA+PB+PC+PD>AB+BC+CD+DA$?

Problema 6 Se dă $\triangle ABC$. Punctul $B_1$ se află pe prelungirea laturii $[AB]$, după $B$, a.î. $AB_1=AC$. Bisectoarea lui $\widehat{BAC}$ intersectează cercul circumscris al $\triangle ABC$ în punctul $W$.
Arătați că ortocentrul $\triangle AWB_1$ se află pe cercul circumscris al $\triangle ABC$.

Problema 7 Înălțimile $AA_1$ și $CC_1$ ale $\triangle ABC$ se intersectează în $H$. Punctul $Q$ este simetricul mijlocului segmentului $[AC]$ față de dreapta $AA_1$.
Dacă punctul $P$ este mijlocul segmentului $[A_1C_1]$, arătați că măsura lui $\widehat{QPH}$ este de $90^\circ$.

Problema 8 Un pătrat este pavat cu câteva poligoane convexe, cel puțin două, (poligoanele nu se suprapun,acoperă în totalitate pătratul și nu-i depășesc marginile) astfel încât fiecare poligon are un număr diferit de laturi față de celelalte poligoane. Arătați că în această pavare s-a folosit și un triunghi.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești
Contact:

Re: Subiectele Finalei SARAGHIN 2012 (din 30.07-2.08)

Mesaj de Laurențiu Ploscaru »

CLASA A 9-a - ziua 1

Problema 1 În $\triangle ABC$ se duc înălțimile $AA_1$ și $BB_1$ și se ia $\{O\}=AA_1\cap BB_1$. În $\triangle OBA_1$ ducem înălțimea $A_1A_2$, iar în $\triangle OAB_1$ ducem înălțimea $B_1B_2$.
Demonstrați că $A_2B_2\parallel AB$.

Problema 2 Prin vârfurile $A,B,C$ ale $\triangle ABC$ se duc trei drepte paralele, care intersectează a doua oară cercul circumscris $\triangle ABC$ în punctele $A_1,B_1$, respectiv $C_1$. Notăm cu $A_2,B_2,C_2$ simetricele punctelor $A_1,B_1,C_1$ în mod respectiv față de dreptele $BC,\ AC$, respectiv $AB$. Arătați că dreptele $AA_2,\ BB_2,\ CC_2$ sunt concurente.

Problema 3 În $\triangle ABC$ ducem bisectoarea $[CL$. Notăm cu $M$ și $N$ punctele de tangență ale laturii $[AB]$ cu cercurile înscrise în $\triangle CAL$ și $\triangle CBL$.
După aceasta se șterg toate liniile și punctele cu excepția punctelor $A,L,M,N$. Refaceți $\triangle ABC$, folosind doar rigla și compasul.

Problema 4 Determinați $n>3$ pentru care un poligon regulat cu $n$ laturi poate fi împărțit în triunghiuri congruente prin câteva diagonale (ce se pot intersecta).
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești
Contact:

Re: Subiectele Finalei SARAGHIN 2012 (din 30.07-2.08)

Mesaj de Laurențiu Ploscaru »

CLASA A 9-A - ziua 2

Problema 5 Considerăm $\triangle ABC$ dreptunghic isoscel. Pe prelungirea ipotenuzei $[AB]$, după $A$, se ia punctul $D$ a.î. $AB=2AD$. Punctele $M$ și $N$ se află pe cateta $[AC]$ a.î. $AM=NC$. Pe prelungirea catetei $[BC]$, după $B$, se ia punctul $K$ a.î. $CN=BK$. Determinați măsura unghiului format de dreptele $NK$ și $DM$.

Problema 6 Considerăm $\triangle ABC$ cu $BC=a$ și $AB=AC=b$. Latura $AC$ este latură a $\triangle ADC$ cu $AD=CD=a$, unde $B$ și $D$ se află în semiplane opuse față de dreapta $AC$.
Fie $[CM$ și $[CN$ bisectoare în $\triangle ABC$, respectiv $\triangle ADC$ cu $M\in AB,\ N\in AD$. Determinați lungimea razei cercului circumscris $\triangle CMN$ în funcție de $a$ și $b$.

Problema 7 Un pentagon convex $P$ este împărțit de către diagonalele sale în zece triunghiuri și un pentagon mai mic $P^\prime$. Fie $N$ diferența dintre suma ariilor celor cinci triunghiuri adiacente la laturile lui $P^\prime$ și aria acestuia. În mod similar este considerat $N^\prime$ pentru pentagonul $P^\prime$. Arătați că $N>N^\prime$.

Problema 8 Fie $D$ piciorul înălțimii duse din vârful $A$ al $\triangle ABC$ ascuțitunghic. Notăm cu $K$ și $L$ proiecțiile lui $D$ pe laturile $[AB]$, respectiv $[AC].$ Cercul circumscris al $\triangle ABC$ intersectează a doua oară dreapta $AD$ în punctul $T$, iar dreapta $KL$ în punctele $P$ și $Q.$ Arătați că punctul $D$ este centrul cercului înscris în $\triangle PQT$.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești
Contact:

Re: Subiectele Finalei SARAGHIN 2012 (din 30.07-2.08)

Mesaj de Laurențiu Ploscaru »

CLASA A 10-a - ziua 1

Problema 1 Determinați toate numerele naturale $n$ pentru care suprafața unui cub $n\times n\times n$ poate fi acoperită cu plăci dreptunghiulare de dimensiuni $1\times 2$ în mod unic a.î. fiecare dreptunghi are exact $5$ vecini. (două dreptunghiuri sunt vecine dacă au un segment unitate comun)

Problema 2 Spunem că un punct din interiorul unui triunghi se numește BUN dacă lungimile cevienelor ce trec prin acesta sunt invers proporționale cu lungimile laturilor corespunzătoare. Găsiți toate triunghiurile pentru care numărul de puncte BUNE este maxim.

Problema 3 În $\triangle ABC$ scalen notăm cu $M$ și $I$ centrul de greutate, respectiv centrul cercului înscris; iar cu $r$ raza acestui cerc.
Demonstrați că $MI=r/3 \Leftrightarrow MI$ este perpendiculară pe o latură a triunghiului.

Problema 4 Găsiți locul geometric al mijlocului ipotenuzei tuturor triunghiurilor dreptunghice, înscrise într-un pătrat dat, știind că vârfurile triunghiurilor se găsesc pe trei laturi diferite ale pătratului și nu coincid cu vârfurile pătratului.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Scrie răspuns