Subiectele Finalei SARAGHIN 2012 (din 30.07-2.08)

Subiectele Finalei SARAGHIN 2012 (din 30.07-2.08)

Mesajde mihai miculita » Lun Aug 06, 2012 6:56 am

in limba engleza, le gasiti in attachment in format pdf
Fişiere ataşate
Finala 2012.zip
(963.17 KiB) Descărcat de 200 ori
mihai miculita
 
Mesaje: 1493
Membru din: Mar Oct 26, 2010 9:21 pm
Localitate: ORADEA

Re: Subiectele Finalei SARAGHIN 2012 (din 30.07-2.08)

Mesajde Laurențiu Ploscaru » Mie Aug 08, 2012 12:37 pm

CLASA A 8-A - ziua 1

Problema 1 Fie M mijlocul bazei [AC] a \triangle ABC ascuțitunghic isoscel. Fie N simetricul lui M față de [BC]. Paralela la AC care trece prin N intersectează [AB] în K.
Aflați măsura unghiului \widehat{AKC}.

Problema 2 Reconstituiți \triangle ABC, având dat vârful A și picioarele B_1 și C_1 ale bisectoarelor unghiurilor \widehat{ABC}, respectiv \widehat{ACB}.

Problema 3 Un pătrat ABCD se îndoaie după o linie a.î. punctul C ajunge pe latura [AD]. Considerăm cercurile înscrise în cele trei triunghiuri mici formate.
Demonstrați că suma razelor a două dintre ele este egală cu raza celui de-al treilea.

Problema 4 Se dă \triangle ABC isoscel cu m(\widehat{ABC})=120^\circ. Punctele P și Q se află pe prelungirile laturilor [AB], respectiv [BC], după B, a.î. unghiul dintre dreptele AQ și CP e drept.
Arătați că m(\widehat{PQB})=2m(\widehat{PCQ}).
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
 
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești

Re: Subiectele Finalei SARAGHIN 2012 (din 30.07-2.08)

Mesajde Laurențiu Ploscaru » Mie Aug 08, 2012 12:44 pm

CLASA A 8-A - ziua 2

Problema 5 Există oare un patrulater convex ABCD și un punct P în interiorul său a.î. PA+PB+PC+PD>AB+BC+CD+DA?

Problema 6 Se dă \triangle ABC. Punctul B_1 se află pe prelungirea laturii [AB], după B, a.î. AB_1=AC. Bisectoarea lui \widehat{BAC} intersectează cercul circumscris al \triangle ABC în punctul W.
Arătați că ortocentrul \triangle AWB_1 se află pe cercul circumscris al \triangle ABC.

Problema 7 Înălțimile AA_1 și CC_1 ale \triangle ABC se intersectează în H. Punctul Q este simetricul mijlocului segmentului [AC] față de dreapta AA_1.
Dacă punctul P este mijlocul segmentului [A_1C_1], arătați că măsura lui \widehat{QPH} este de 90^\circ.

Problema 8 Un pătrat este pavat cu câteva poligoane convexe, cel puțin două, (poligoanele nu se suprapun,acoperă în totalitate pătratul și nu-i depășesc marginile) astfel încât fiecare poligon are un număr diferit de laturi față de celelalte poligoane. Arătați că în această pavare s-a folosit și un triunghi.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
 
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești

Re: Subiectele Finalei SARAGHIN 2012 (din 30.07-2.08)

Mesajde Laurențiu Ploscaru » Mie Aug 08, 2012 1:03 pm

CLASA A 9-a - ziua 1

Problema 1 În \triangle ABC se duc înălțimile AA_1 și BB_1 și se ia \{O\}=AA_1\cap BB_1. În \triangle OBA_1 ducem înălțimea A_1A_2, iar în \triangle OAB_1 ducem înălțimea B_1B_2.
Demonstrați că A_2B_2\parallel AB.

Problema 2 Prin vârfurile A,B,C ale \triangle ABC se duc trei drepte paralele, care intersectează a doua oară cercul circumscris \triangle ABC în punctele A_1,B_1, respectiv C_1. Notăm cu A_2,B_2,C_2 simetricele punctelor A_1,B_1,C_1 în mod respectiv față de dreptele BC,\ AC, respectiv AB. Arătați că dreptele AA_2,\ BB_2,\ CC_2 sunt concurente.

Problema 3 În \triangle ABC ducem bisectoarea [CL. Notăm cu M și N punctele de tangență ale laturii [AB] cu cercurile înscrise în \triangle CAL și \triangle CBL.
După aceasta se șterg toate liniile și punctele cu excepția punctelor A,L,M,N. Refaceți \triangle ABC, folosind doar rigla și compasul.

Problema 4 Determinați n>3 pentru care un poligon regulat cu n laturi poate fi împărțit în triunghiuri congruente prin câteva diagonale (ce se pot intersecta).
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
 
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești

Re: Subiectele Finalei SARAGHIN 2012 (din 30.07-2.08)

Mesajde Laurențiu Ploscaru » Mie Aug 08, 2012 1:07 pm

CLASA A 9-A - ziua 2

Problema 5 Considerăm \triangle ABC dreptunghic isoscel. Pe prelungirea ipotenuzei [AB], după A, se ia punctul D a.î. AB=2AD. Punctele M și N se află pe cateta [AC] a.î. AM=NC. Pe prelungirea catetei [BC], după B, se ia punctul K a.î. CN=BK. Determinați măsura unghiului format de dreptele NK și DM.

Problema 6 Considerăm \triangle ABC cu BC=a și AB=AC=b. Latura AC este latură a \triangle ADC cu AD=CD=a, unde B și D se află în semiplane opuse față de dreapta AC.
Fie [CM și [CN bisectoare în \triangle ABC, respectiv \triangle ADC cu M\in AB,\ N\in AD. Determinați lungimea razei cercului circumscris \triangle CMN în funcție de a și b.

Problema 7 Un pentagon convex P este împărțit de către diagonalele sale în zece triunghiuri și un pentagon mai mic P^\prime. Fie N diferența dintre suma ariilor celor cinci triunghiuri adiacente la laturile lui P^\prime și aria acestuia. În mod similar este considerat N^\prime pentru pentagonul P^\prime. Arătați că N>N^\prime.

Problema 8 Fie D piciorul înălțimii duse din vârful A al \triangle ABC ascuțitunghic. Notăm cu K și L proiecțiile lui D pe laturile [AB], respectiv [AC]. Cercul circumscris al \triangle ABC intersectează a doua oară dreapta AD în punctul T, iar dreapta KL în punctele P și Q. Arătați că punctul D este centrul cercului înscris în \triangle PQT.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
 
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești

Re: Subiectele Finalei SARAGHIN 2012 (din 30.07-2.08)

Mesajde Laurențiu Ploscaru » Mie Aug 08, 2012 1:18 pm

CLASA A 10-a - ziua 1

Problema 1 Determinați toate numerele naturale n pentru care suprafața unui cub n\times n\times n poate fi acoperită cu plăci dreptunghiulare de dimensiuni 1\times 2 în mod unic a.î. fiecare dreptunghi are exact 5 vecini. (două dreptunghiuri sunt vecine dacă au un segment unitate comun)

Problema 2 Spunem că un punct din interiorul unui triunghi se numește BUN dacă lungimile cevienelor ce trec prin acesta sunt invers proporționale cu lungimile laturilor corespunzătoare. Găsiți toate triunghiurile pentru care numărul de puncte BUNE este maxim.

Problema 3 În \triangle ABC scalen notăm cu M și I centrul de greutate, respectiv centrul cercului înscris; iar cu r raza acestui cerc.
Demonstrați că MI=r/3 \Leftrightarrow MI este perpendiculară pe o latură a triunghiului.

Problema 4 Găsiți locul geometric al mijlocului ipotenuzei tuturor triunghiurilor dreptunghice, înscrise într-un pătrat dat, știind că vârfurile triunghiurilor se găsesc pe trei laturi diferite ale pătratului și nu coincid cu vârfurile pătratului.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
 
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești


Înapoi la Resurse

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 1 vizitator

cron