Pagina 1 din 1

Tabara MATHTIME - Jupiter, ziua I

Scris: Lun Aug 29, 2011 1:39 pm
de Mr. Ady
Problema 1. Avem la dispozitie un "instrument" care poate efectua urmatoarele doua operatii:
a) Prin orice doua puncte poate fi trasata dreapta ce le contine.
b) Pentru orice dreapta si pentru orice punct de pe aceasta se poate construi perpendiculara prin acest punct pe dreapta.
Se da o dreapta d si un punct P, exterior acesteia. Cu ajutorul "instrumentului", construiti perpendiculara din P pe dreapta d.

Problema 2. Fie $a, b, c, d \in \mathbb{Q}$ astfel incat $|a-c|+|b-d|=2011$ si $|a-d|+|b-c|=201$. Calculati $|a-b|+|c-d|$.

Problema 3. Pe un rand se afla $30$ de cizme astfel incat $15$ dintre ele sunt pentru piciorul drept, iar $15$ pentru piciorul stang. Demonstrati ca exista 10 cizme consecutive astfel incat $5$ sa fie pentru piciorul drept si celelalte $5$ sa fie pentru piciorul stang.

Problema 4. Fie $M= \{ 1, 2, 3,..., 16 \}$. Gasiti $k \in \mathbb{N}$* minim cu proprietatea ca oricum am alege $A$ o submultime cu $k$ elemente a lui $M$, exista $a, b \in A$ astfel incat $a^{2}+b^{2}$ sa fie prim.

Re: Tabara MATHTIME - Jupiter, ziua I

Scris: Mie Aug 31, 2011 6:57 am
de Laurențiu Ploscaru
Soluția mea de la probă:

1. Fie $C$ și $D$ 2 puncte distincte de pe $d$. Fie $BC\perp CP$ și $AD\perp DP$ cu $B\in PD$ și $A\in CP$.
Perpendicularele din $A$ și $B$ pe $AP$, respectiv $BP$ se intersectează în $Q$.
Cum $CD$ e antiparalelă la $AB$ și $PQ$ e diametru în $C(P,A,B)$, se demonstrează ușor că $\boxed{PQ\perp d}$.

Re: Tabara MATHTIME - Jupiter, ziua I

Scris: Sâm Oct 15, 2011 11:10 am
de Catalin Fetoiu
Foarte ingenioasa solutia Laurentiu.