Tabara MATHTIME - Jupiter, ziua I

[Mr. Ady]

Problema 1. Avem la dispozitie un "instrument" care poate efectua urmatoarele doua operatii:
a) Prin orice doua puncte poate fi trasata dreapta ce le contine.
b) Pentru orice dreapta si pentru orice punct de pe aceasta se poate construi perpendiculara prin acest punct pe dreapta.
Se da o dreapta d si un punct P, exterior acesteia. Cu ajutorul "instrumentului", construiti perpendiculara din P pe dreapta d.

Problema 2. Fie $a, b, c, d \in \mathbb{Q}$ astfel incat $|a-c|+|b-d|=2011$ si $|a-d|+|b-c|=201$. Calculati $|a-b|+|c-d|$.

Problema 3. Pe un rand se afla $30$ de cizme astfel incat $15$ dintre ele sunt pentru piciorul drept, iar $15$ pentru piciorul stang. Demonstrati ca exista 10 cizme consecutive astfel incat $5$ sa fie pentru piciorul drept si celelalte $5$ sa fie pentru piciorul stang.

Problema 4. Fie $M= \{ 1, 2, 3,..., 16 \}$. Gasiti $k \in \mathbb{N}$* minim cu proprietatea ca oricum am alege $A$ o submultime cu $k$ elemente a lui $M$, exista $a, b \in A$ astfel incat $a^{2}+b^{2}$ sa fie prim.

[Laurențiu Ploscaru]

Soluția mea de la probă:

1. Fie $C$ și $D$ 2 puncte distincte de pe $d$. Fie $BC\perp CP$ și $AD\perp DP$ cu $B\in PD$ și $A\in CP$.
Perpendicularele din $A$ și $B$ pe $AP$, respectiv $BP$ se intersectează în $Q$.
Cum $CD$ e antiparalelă la $AB$ și $PQ$ e diametru în $C(P,A,B)$, se demonstrează ușor că $\boxed{PQ\perp d}$.

[Catalin Fetoiu]

Foarte ingenioasa solutia Laurentiu.