Sa se decida daca exista functii $f:\Bbb R\rightarrow\Bbb R$ cu primitiva $F:\Bbb R\rightarrow\Bbb R$ care sa verifice una din conditiile:
a) $F(f(x))=2x^{2}, \forall x\in\Bbb R$;
b) $F(f(x))=3x^{3}, \forall x\in\Bbb R$.
Concursul Argument, 2012, Problema 2
-
- Mesaje: 24
- Membru din: Joi Noi 04, 2010 5:21 pm
-
- Mesaje: 151
- Membru din: Mie Noi 03, 2010 10:05 am
Re: Concursul Argument, 2012, Problema 2
Pentru a) alegem $f\left(x\right)=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\cdot x$ si primitiva sa care se anuleaza in origine.
-
- Mesaje: 48
- Membru din: Mar Aug 02, 2011 10:06 pm
- Contact:
Re: Concursul Argument, 2012, Problema 2
b)din $F\circ f=3x^3$rezulta ca F e surjectiva si f injectiva
Cum $f$are proprietatea lui Darboux,rezulta ca f e continua
presupunem ca $f$e crescatoare si fie $x_n\to \infty$sir crescator.
daca $f(x_n)$e marginit,$a\leq f(x_n)\leq b$de unde $3x_n^3=F(f(x_n))=F([a,b])$e marginit,contradictie cu $x_n\to \infty$
deci $f(x_n)\to \infty$fiind nemarginit si strict crescator.
analog se demonstreaza pentru $x_n\to -\infty$ca si $f(x_n)\to -\infty$
cum f este continua rezulta ca f e surjectiva deci f e bijectiva
Din $F(f(x))=3x^3$rezulta $F(g(x))=x,g(x)=\sqrt[3]{\frac{x}{3}}$cu $g$tot bijectiva.deci $F(x)=g^{-1}(x)=3x^3$deci $f=9x^2$care contravine cu ipoteza de la b) deci nu exista astfel de functii.
Cum $f$are proprietatea lui Darboux,rezulta ca f e continua
presupunem ca $f$e crescatoare si fie $x_n\to \infty$sir crescator.
daca $f(x_n)$e marginit,$a\leq f(x_n)\leq b$de unde $3x_n^3=F(f(x_n))=F([a,b])$e marginit,contradictie cu $x_n\to \infty$
deci $f(x_n)\to \infty$fiind nemarginit si strict crescator.
analog se demonstreaza pentru $x_n\to -\infty$ca si $f(x_n)\to -\infty$
cum f este continua rezulta ca f e surjectiva deci f e bijectiva
Din $F(f(x))=3x^3$rezulta $F(g(x))=x,g(x)=\sqrt[3]{\frac{x}{3}}$cu $g$tot bijectiva.deci $F(x)=g^{-1}(x)=3x^3$deci $f=9x^2$care contravine cu ipoteza de la b) deci nu exista astfel de functii.