ORM 2015,clasa a 9-a,ziua 2

ghenghea1
Mesaje: 250
Membru din: Vin Noi 28, 2014 6:31 pm

ORM 2015,clasa a 9-a,ziua 2

Mesaj de ghenghea1 »

$9.5$ Să se arate,că oricare ar fi numerele reale $a,b,c$,dacă $a^2+b^2+c^2 \neq 0$,atunci polinomul $P(X)=X^4+aX^3+bX+c$ nu se divide la polinomul $Q(X)=X^3-(a+b)X^2+abX$.

$9.6$ Un pătrat de dimensiuni $2016 \times 2016$ este împărțit în pătrațele $1 \times 1$.Pe diagonala ce pornește din colțul stâng-jos sunt puse $2016$ fise,câte una pe fiecare pătrățel.Fie $k$ un număr natural,$2 \le k \le 2015$.La o mutare,se iau oricare $k$ fise și e deplasează cu un pătrățel mai jos.Numărul $k$ se va numi număr bun,dacă după un anumit număr de mutări toate fisele vor ajunge pe linia de jos a pătratului.Să se afle cel mai mic număr bun.

$9.7$ Fie paralelogramul $ABCD$ cu laturile $AB=CD=a , AD=BC=b$ și $m(\angle A)=30^{\circ}$.O dreaptă ce trece prin $C$ intersectează dreptele $AB$ și $AD$ în exteriorul paralelogramului în punctele $P$,respectiv $Q$.Să se demontreze că aria paralelogramului nu depășește $\dfrac{1}{8}\left(a \cdot AQ +b\cdot AP \right)$.

$9.8$ Să se afle perechile de numere reale $(x,y)$,care satisfac inecuația $(x+y^2)(y^2-4y+5) \le 2y\sqrt{x}$.
Liceul Teoretic Cobani
Scrie răspuns