ORM 2015,clasa a 10-a,ziua 1

[ghenghea1]

$10.1$ Fie $a,b,c,m$ - numere reale pozitive ce satisfac $a>m,b>m,c>m$.Să se demonstreze,că $\dfrac{a^2}{b-m}+\dfrac{b^2}{c-m}+\dfrac{c^2}{a-m} \ge 12m$.

$10.2$ Să se rezolve ecuația $\dfrac{1}{13x}+\dfrac{1}{31y}=\dfrac{1}{2015}$.

$10.3$ Fie $AB$ diametrul cercului $\omega$ cu centrul în $O$ și $OC$ o rază perpendiculară de $AB$,iar $M$ un punct din interiorul segmentului $OC$.Fie $N$ cel de al doilea punct de intersecție al dreptei $AM$ cu $\omega$,iar $P$ punctul de intersecție al tangentelor la $\omega$ duse prin $N$ și $B$.

$10.4$ În interiorul unui cerc în $O$ sunt date punctele $A_1,A_2,...,A_{2015}$ astfel că oricare ar fi $i,j,1 \le i<j \le 2015$ punctele $O,A_i,A_j$ sunt necoliniare.Să se demontreze,că există un unghi cu mărimea de $72^{\circ}$ cu vîrful în $O$ în interiorul căruia se află exact $403$ puncte din mulțimea $\{A_1,A_2,...,A_{2015}\}$.