Concursul VO si GM 2011 sub 3

Concursul VO si GM 2011 sub 3

Mesajde emiemiemi » Sâm Aug 20, 2011 1:06 pm

Se considera tetraedrul ABCD.Demonstrati ca daca fiecare din unghiurile BAC,CAD si DAB este ascutit si are masura de cel putin 60^o, iar AB+AC+AD \ge BC+CD+BD, atunci ABCD e tetraedru regulat.
emiemiemi
 
Mesaje: 125
Membru din: Sâm Mar 12, 2011 10:19 pm

Re: Concursul VO si GM 2011 sub 3

Mesajde andreiteodor » Dum Aug 21, 2011 6:50 pm

Din teorema cosinului in \triangle{ADB} , obtinem:
BD^2=AB^2+AD^2-2*AB*AD*cosA.
Cum 60'\le A<90;, cosA \le \frac{1}{2}, ceea ce implica:
BD^2\ge AB^2+AD^2-AB*AD.
Scriind inegalitati analoage , insumandu-le si notand AB=a;AC=b si AD=c, obtinem:
a+b+c\ge BD+CD+BC \ge \sum \sqrt{a^2+b^2-ab}.
Dar avem inegalitatea : \sqrt{a^2+b^2-ab} \ge \frac{a+b}{2}(<=>4(a^2+b^2-ab)\ge (a+b)^2<=>(a-b)^2\ge 0) si analoagele , care prin insumare implica :
a+b+c\le \sum \sqrt{a^2+b^2-ab}.
Astfel a=b=c si se obtine usor ca ABCD este tetraedru regulat.
Nimic nu-i niciodata asa de simplu cum pare.
andreiteodor
 
Mesaje: 491
Membru din: Joi Mar 17, 2011 3:09 pm
Localitate: Sinesti


Înapoi la Probleme

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 1 vizitator

cron