Concursul VO si GM 2011 sub 1

Concursul VO si GM 2011 sub 1

Mesajde emiemiemi » Sâm Aug 20, 2011 1:00 pm

a) O multime nevida A \subset R se numeste inchisa la inmultire daca oricare ar fi x,y \in A avem si xy \in A.Determinati toate multimile finite inchise la inmultire.
b) O submultime nevida A \subset Z se numeste inchisa la scadere daca oricare ar fi x,y \in A avem si x-y \in A.Demonstrati ca exista o singura multime finita inchisa la scadere, si determinati toate multimile infinite inchise la scadere.
emiemiemi
 
Mesaje: 125
Membru din: Sâm Mar 12, 2011 10:19 pm

Re: Concursul VO si GM 2011 sub 1

Mesajde Laurențiu Ploscaru » Lun Aug 22, 2011 11:06 am

Fie B o mulțime finită închisă la înmulțire cu M- elementul maxim și m- elementul minim. Evident M\ge m.
Avem M\ge M^2, de unde 1\ge M sau M=0 și m^2\ge m, de unde |m|\ge 1 sau m\in (-1,0].
1) M\neq 0,|m|\ge 1. Atunci 1\ge M\ge |m|\ge 1, deci M=|m|=1 și avem mulțimile finite închise la înmulțire, \{1\},\{-1,1\},\{-1,0,1\}.
2) M=0, m\neq 0. Avem m<0, dar atunci m^2>0=M, contradicție! Nu avem soluții.
3) M\neq 0, m\in (-1,0]. Dacă m\neq 0, avem m^2\in B, deci și m^3\in B. Dar atunci m> m^3, contradicție! Deci m=0. Obținem soluția \{1,0\}.
4) M=n=0, avem mulțimea \{0\}.
OBS: Dacă ar mai fi alt element p în B, am avea p^n\in B și p^i\neq p^j pentru n,i,j\in \Bbb{N} cu i\neq j, adică B ar fi infinită.
Deci mulțimile sunt \{0\},\{1\},\{0,1\},\{-1,0,1\},\{-1,1\}.

Fie C o mulțime finită închisă la scădere cu M- elementul maxim și m- elementul minim. Evident M\ge m.
Avem M\ge M-m\ge m-M\ge m. De aici obținem 0\ge M și m\ge 0. Deci 0\ge M\ge m\ge 0, de unde M=m=0 și există o singură mulțime finită închisă la scădere, C=\{0\}.
Mulțimile infinite închise la scădere sunt cele care au elemente de forma M_p cu p\in \Bbb{N}. Aceasta se demonstrează ușor:
1) Se arată că acest tip de mulțime verifică.
2) Se presupune că mai există și alt tip de mulțime și se ajunge la o contradicție.
Ultima oară modificat de Laurențiu Ploscaru pe Lun Aug 22, 2011 12:38 pm, modificat de 2 ori în total.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
 
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești

Re: Concursul VO si GM 2011 sub 1

Mesajde Bogdan Stanoiu » Lun Aug 22, 2011 11:47 am

emiemiemi scrie:a) O multime nevida A \subset R se numeste inchisa la inmultire daca oricare ar fi x,y \in A avem si xy \in A.Determinati toate multimile finite inchise la inmultire.
b) O submultime nevida A \subset Z se numeste inchisa la scadere daca oricare ar fi x,y \in A avem si x-y \in A.Demonstrati ca exista o singura multime finita inchisa la scadere, si determinati toate multimile infinite inchise la scadere.

a) Fie M elementul din A de modul maxim si m elementul din A de modul minim.
Deoarece M^2 este din A rezulta ca in mod obligatoriu modulul lui M este <_1
Deoarece m^2 este in A rezulta ca modulul lui m este fie >_1 fie egal cu 0.
De aici rezulta fie ca modulul lui M este egal cu modulul lui m =1 fie ca modulul lui M este 1 iar modulul lui m este 0 fie ca modulul lui M=modulul lui m=0.
Se obtin multimile {1};{0;1}{-1;0;1};{-1;1};{0}
Bogdan Stanoiu
 
Mesaje: 106
Membru din: Mie Iul 27, 2011 4:59 am


Înapoi la Probleme

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 1 vizitator

cron