baraj 2 moldova 2015

baraj 2 moldova 2015

Mesajde ghenghea1 » Mie Apr 01, 2015 1:59 pm

1)Multimea A contine exact 21 de numere intregi.Suma oricaror 11 numere din A este mai mare decat suma celorlalte numere ramase.Se stie ca multimea A contine numarul 101,iar cel mai mare numar din A este 2014.Aflati celelalte 19 numere din A.
2)Numerele reale a,b si c satisfac egalitatile
2015(a+b+c)=1,ab+bc+ca=2015abc.Aflati a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}..
3)In triunghiul dreptunghic ABC cu m(\angle BAC)=90^{\circ},m(\angle ABC)=54^{\circ}. Punctul M este mijlocul lui BC,punctul D este picioru bisectoarei duse din varful C,iar AM\cap CD=\{E\}.Aratati ca AB=CE.
4)Aflati numarul tuturor tripletelor ordonate de numere naturale nenule (a,b,c) care satisfac egalitatile:
[a,b]=1000 , [b,c]=[c,a]=2000.(AIME 1987)
Liceul Teoretic Cobani
ghenghea1
 
Mesaje: 250
Membru din: Vin Noi 28, 2014 6:31 pm

Re: baraj 2 moldova 2015

Mesajde tudordimitrepopi » Mie Apr 01, 2015 7:38 pm

1. Fie 2014=a1>a2>a3>.....>a21.
a1+.....+a10<a11+.....+a21.Avem ca a1>=a11- 10,a2>=a12 - 10, ..... a10>=a20-10.Avem egalitate doar daca an=a(n-1) +1, pentru n cu valori de la 2 la 20.In cazul in care nu am avea egalitate, adunand inegalitatile de ma sus cu am avea ca a1+.....+a10>100 +a11+.....+a20, deci a1+.....+a10>=101+a11+......+a20, iar cum 101 face parte din A,atunci 101=a21,deci a1+.....+a10>=a11+.....=a21, contradictie,deci avem egalitate in inegalitati.Rezulta ca a2=2013,.....,a20=1995,a21=101.
2. Din conditii avem ca 1/a + 1/b +1/c=1/(a+b+c).Dupa calcule avem ca a=-b sau analoagele.Rezulta ca a^2015+ b^2015 + c^2015= (1/2015)^2015.
3. Ducem prin C paralela la AB.Aceasta se intersecteaza cu AM in A'.ABA'C paralelogram,deci m(A'CB)=m(A'AB)=54 de grade.Dar si m(AMB)=m(A'MC)=54 de grade,deci triunghiul A'MC este isoscel.deci A'C=CM=AB.
tudordimitrepopi
 
Mesaje: 24
Membru din: Joi Dec 26, 2013 6:09 pm

Re: baraj 2 moldova 2015

Mesajde ghenghea1 » Lun Apr 20, 2015 8:35 pm

Problema 1 a fost data la OM Macedonia,1999.
Liceul Teoretic Cobani
ghenghea1
 
Mesaje: 250
Membru din: Vin Noi 28, 2014 6:31 pm

Re: baraj 2 moldova 2015

Mesajde sunken rock » Dum Apr 17, 2016 11:48 am

Alternate solution to pr. 3: take P - reflection of B about the A-altitude of ABC, see that tr. APC and CEA are congruent (a.s.a.), hence CE=AP=AB, done.

Best regards,
sunken rock
A blind man sees the details better.
Avatar utilizator
sunken rock
 
Mesaje: 643
Membru din: Joi Ian 06, 2011 2:49 pm
Localitate: Constanta


Înapoi la Juniori

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 1 vizitator

cron