test de selectie "seniori" Moldova 2014

test de selectie "seniori" Moldova 2014

Mesajde ghenghea1 » Mar Feb 03, 2015 8:06 pm

1)Find all pairs of non-negative integers (x,y) such that
\sqrt{x+y}-\sqrt{x}-\sqrt{y}+2=0.
2)Let a,b\in\mathbb{R}_+ such that a+b=1. Find the minimum value of the following expression:
E(a,b)=3\sqrt{1+2a^2}+2\sqrt{40+9b^2}.
3)Let \triangle ABC be an acute triangle and AD the bisector of the angle \angle BAC with D\in(BC). Let E and F denote feet of perpendiculars from D to AB and AC respectively. If BF\cap CE=K and \odot AKE\cap BF=L prove that DL\perp BF.
4)Define p(n)to be th product of all non-zero digits of n. For instance p(5)=5, p(27)=14, p(101)=1 and so on. Find the greatest prime divisor of the following expression:
p(1)+p(2)+p(3)+...+p(999).
Liceul Teoretic Cobani
ghenghea1
 
Mesaje: 250
Membru din: Vin Noi 28, 2014 6:31 pm

Re: test de selectie "seniori" Moldova 2014

Mesajde dangerous storm » Mie Feb 04, 2015 9:40 am

Pentru 1:Avem \sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{x+y}=2,deci 2\sqrt{xy}=(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{x+y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{x+y})=2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{x+y}).Astfel obtinem \sqrt{xy}=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{x+y}\le 2(\sqrt{x}+\sqrt{y}).De aici se va observa ca min\{\sqrt{x},\sqrt{y}\}\le 4.Acum totul devine simplu,doar trebuie analizate niste cazuri.
dangerous storm
 
Mesaje: 145
Membru din: Joi Iul 03, 2014 9:29 pm

Re: test de selectie "seniori" Moldova 2014

Mesajde DanDumitrescu » Mie Feb 04, 2015 1:06 pm

La problema 4 este o observatie foarte interesanta de facut si anume ca orice p(n) se scrie ca un produs de p(k) in functie de cate cifre are numarul.Vom considera p(o)=1 pentru a fi neutru in inmultire si vom avea Suma ciclica de p(n) de la 0 la 999 care va fi egala cu suma ciclica de p(n) n de la 0 la 9 ridicata la cub ce va genera 1000 de numere adica de la 0 la 999 iar suma ciclica de p(n) de la n=0 pana la n=9 va fi 46 si vom avea ca Suma ceruta si anume p(1)+p(2)+...+p(999)=46^3-1=45(46^2+46+1)=3*3*5*2163=3^3*5*7*103,deci rspunsul final este 103.
Liceul National Alexandru Lahovari
DanDumitrescu
 
Mesaje: 108
Membru din: Dum Aug 17, 2014 4:42 pm

Re: test de selectie "seniori" Moldova 2014

Mesajde Marius Stănean » Mie Feb 04, 2015 2:10 pm

2) \min=5\sqrt{11}.
Quae nocent docent
Marius Stănean
 
Mesaje: 751
Membru din: Mar Iul 13, 2010 7:15 am
Localitate: Zalau


Înapoi la Juniori

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 1 vizitator

cron