MathTime

1. Fie $a,b,c>0$ cu $abc=1$. Arătați că: $\dfrac{b+c}{\sqrt{a}}+\dfrac{c+a}{\sqrt{b}}+\dfrac{a+b}{\sqrt{c}}\ge \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$.

2. Punctul $E$ se află pe înălțimea $AD,\ (D\in BC)$ a triunghiului $ABC$ astfel încât $m(BEC)=90^\circ$. Fie $O_1$ și $O_2$ centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor $ABE$, respectiv $ACE$, iar $F$ mijlocul segmentului $[O_1O_2]$. Arătați că dreapta $EF$ trece prin mijlocul laturii $[BC]$.

3. Arătați că pentru orice număr natural $n\geq 2$ există o mulțime $S$ formată din $n$ numere întregi cu proprietatea că $(a-b)^2$ divide $ab$ pentru orice $a,b\in S$ cu $a\neq b$.

4. Fie $\triangle ABC$ ascuțitunghic și fie $H$ ortocentrul său. Fie $\{D\}=BH\cap AC$ și $\{E\}=CH\cap AB$. Cercul circumscris triunghiului $\triangle ADE$ intersectează a doua oară cercul circumscris triunghiului $\triangle ABC$ în $F \neq A$. Arătați că bisectoarele unghiurilor $\angle BFC$ and $\angle BHC$ se intersectează într-un punct de pe dreapta $BC$.

5. Pe un rând sunt scrise câteva numere. O operație constă în alegerea a două numere alăturate astfel încât cel din stânga este mai mare decât cel din dreapta, dublarea fiecăruia și schimbarea pozițiilor lor. Arătați că se pot face cel mult un număr finit de operații.

1. Fie s=a+b+c si $u=\sum{\sqrt{a}}$. Din Chebyshev, avem ca $LHS \ge \dfrac{6s}{u}$. Ramane sa aratam ca $6s\ge u^2+3u$, dar folosind ca $u\le \sqrt{3s}$, se reduce la $s \ge 3$, evident adevarat.

1.Sau cu substitutiile $x=\sqrt{a},y=\sqrt{b},z=\sqrt{c}$ ramane sa aratam ca:
$\displaystyle\sum\limits\dfrac{x^2+y^2}{z}\ge x+y+z+3$.Dupa ce aplicam Chauchy ajungem la $x+y+z\ge3$,evident.

2. Fie $X$ mijlocul segmentului $BE$, $Y$ mijlocul segmentului $CE$ si $O_{1}X\cap O_{2}Y=\{M\}$. Evident, $M$ este mijlocul lui $[BC]$.

$EXMY$ este dreptunghi, deci $\widehat{EMX}=\widehat{YXM}$. Dar $XY$ este linie mijlocie in triunghiul $\triangle{EBC}$, deci $XY\parallel BC\parallel O_1O_2\Rightarrow \widehat{MO_1O_2}=\widehat{MXY}=\widehat{EMX}$.

In acelasi timp, triunghiul $\triangle{O_1O_2M}$ este dreptunghic iar $MF$ este mediana, deci $\widehat{FMO_1}=\widehat{MO_1O_2}=\widehat{EMO_1}$.

Asadar, $M-E-F$ coliniare.

4. Fie $Z$ simetricul lui $H$ fata de $BC$ si $\{Z^\prime\}=FH\cap (ABC)$.

Cum $\widehat{HFA}=180^\circ-\widehat{HDA}=90^\circ$, rezulta ca $AZ^\prime$ diametru, deci $FZ^\prime$ mediana in triunghiul $\triangle{FBC}$.

In acelasi timp, $\widehat{Z^\prime FC}=90^\circ-\hat{B}=\widehat{BCZ}=\widehat{BFZ}$, deci $FZ$ este simediana in triunghiul $\triangle{FBC}$, i.e. patrulaterul $FBZC$ este armonic.

Conchidem ca $\dfrac{FB}{FC}=\dfrac{BZ}{CZ}=\dfrac{HB}{HC}$, adica bisectoarele unghiurilor $\widehat{BFC}$ si $\widehat{BHC}$ se taie pe $[BC]$

Aplicam medii pentru numaratori,apoi aplicam inegalitatea ab+bc+ac<=a^2+b^2+c^2,si dupa este evident.

La 2 ,dupa ce luam X,Y,si M,putem observa ca MF e mediana in triunghiul MO1O2,iar triunghiurile EO1F,EO2F au aceeasi arie.

3.Rezultatul urmator,care este mult mai puternic a fost dat USA TST 2015,autorul problemei fiind Iurie Boreico:
"Prove that for every $n\in\mathbb{N}$,there exists a set $S$ of $n$ positive integers such that for any two distinct $a,b\in S$,$a-b$ divides $a$ and $b$ but none of the other elements of $S$.".