MathTime

de **Doctor Gil** » Joi Apr 03, 2014 9:20 pm

1. Fie

cu

. Arătați că: $\dfrac{b+c}{\sqrt{a}}+\dfrac{c+a}{\sqrt{b}}+\dfrac{a+b}{\sqrt{c}}\ge \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$ .

2. Punctul

se află pe înălțimea $AD,\ (D\in BC)$ a triunghiului ABC

astfel încât $m(BEC)=90^\circ$ . Fie O_1

și

centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor ABE

, respectiv ACE

, iar

mijlocul segmentului [O_1O_2]

. Arătați că dreapta

trece prin mijlocul laturii [BC]

.

3. Arătați că pentru orice număr natural $n\geq 2$ există o mulțime

formată din

numere întregi cu proprietatea că (a-b)^2

divide

pentru orice $a,b\in S$ cu $a\neq b$ .

4. Fie $\triangle ABC$ ascuțitunghic și fie

ortocentrul său. Fie $\{D\}=BH\cap AC$ și $\{E\}=CH\cap AB$ . Cercul circumscris triunghiului $\triangle ADE$ intersectează a doua oară cercul circumscris triunghiului $\triangle ABC$ în $F \neq A$ . Arătați că bisectoarele unghiurilor $\angle BFC$ and $\angle BHC$ se intersectează într-un punct de pe dreapta

.

5. Pe un rând sunt scrise câteva numere. O operație constă în alegerea a două numere alăturate astfel încât cel din stânga este mai mare decât cel din dreapta, dublarea fiecăruia și schimbarea pozițiilor lor. Arătați că se pot face cel mult un număr finit de operații.

de **Pricope Tidor-Vlad** » Joi Apr 03, 2014 11:40 pm

1. Fie s=a+b+c si $u=\sum{\sqrt{a}}$ . Din Chebyshev, avem ca $LHS \ge \dfrac{6s}{u}$ . Ramane sa aratam ca $6s\ge u^2+3u$ , dar folosind ca $u\le \sqrt{3s}$ , se reduce la $s \ge 3$ , evident adevarat.

de **Calin Spiridon** » Vin Apr 04, 2014 10:27 am

1.Sau cu substitutiile $x=\sqrt{a},y=\sqrt{b},z=\sqrt{c}$ ramane sa aratam ca:
$\displaystyle\sum\limits\dfrac{x^2+y^2}{z}\ge x+y+z+3$ .Dupa ce aplicam Chauchy ajungem la $x+y+z\ge3$ ,evident.

de **Stefan Tudose** » Vin Apr 04, 2014 12:12 pm

2. Fie

mijlocul segmentului

,

mijlocul segmentului

si $O_{1}X\cap O_{2}Y=\{M\}$ . Evident,

este mijlocul lui [BC]

.

este dreptunghi, deci $\widehat{EMX}=\widehat{YXM}$ . Dar

este linie mijlocie in triunghiul $\triangle{EBC}$ , deci $XY\parallel BC\parallel O_1O_2\Rightarrow \widehat{MO_1O_2}=\widehat{MXY}=\widehat{EMX}$ .

In acelasi timp, triunghiul $\triangle{O_1O_2M}$ este dreptunghic iar

este mediana, deci $\widehat{FMO_1}=\widehat{MO_1O_2}=\widehat{EMO_1}$ .

Asadar, M-E-F

coliniare.

de **Stefan Tudose** » Vin Apr 04, 2014 12:41 pm

4. Fie

simetricul lui

fata de

si $\{Z^\prime\}=FH\cap (ABC)$ .

Cum $\widehat{HFA}=180^\circ-\widehat{HDA}=90^\circ$ , rezulta ca $AZ^\prime$ diametru, deci $FZ^\prime$ mediana in triunghiul $\triangle{FBC}$ .

In acelasi timp, $\widehat{Z^\prime FC}=90^\circ-\hat{B}=\widehat{BCZ}=\widehat{BFZ}$ , deci

este simediana in triunghiul $\triangle{FBC}$ , i.e. patrulaterul FBZC

este armonic.

Conchidem ca $\dfrac{FB}{FC}=\dfrac{BZ}{CZ}=\dfrac{HB}{HC}$ , adica bisectoarele unghiurilor $\widehat{BFC}$ si $\widehat{BHC}$ se taie pe [BC]

de **mdg1999** » Vin Apr 04, 2014 1:12 pm

Aplicam medii pentru numaratori,apoi aplicam inegalitatea ab+bc+ac<=a^2+b^2+c^2,si dupa este evident.

de **mdg1999** » Vin Apr 04, 2014 1:37 pm

La 2 ,dupa ce luam X,Y,si M,putem observa ca MF e mediana in triunghiul MO1O2,iar triunghiurile EO1F,EO2F au aceeasi arie.

de **dangerous storm** » Dum Dec 21, 2014 3:48 pm

3.Rezultatul urmator,care este mult mai puternic a fost dat USA TST 2015,autorul problemei fiind Iurie Boreico:
"Prove that for every $n\in\mathbb{N}$ ,there exists a set

of

positive integers such that for any two distinct $a,b\in S$ , a-b

divides

and

but none of the other elements of

.".

MathTime

Pre JTST

Pre JTST

Re: Pre JTST

Re: Pre JTST

Re: Pre JTST

Re: Pre JTST

Re: Pre JTST

Re: Pre JTST

Re: Pre JTST

Cine este conectat