1. Fie

cu

. Arătați că:

.
2. Punctul

se află pe înălțimea

a triunghiului

astfel încât

. Fie

și

centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor

, respectiv

, iar

mijlocul segmentului
![[O_1O_2] [O_1O_2]](/latexrender/pictures/86a2fc82ec9cd98cb830f92ed81e1bde.png)
. Arătați că dreapta

trece prin mijlocul laturii
![[BC] [BC]](/latexrender/pictures/25c6a1f25bc97657699ccfd396989bfd.png)
.
3. Arătați că pentru orice număr natural

există o mulțime

formată din

numere întregi cu proprietatea că

divide

pentru orice

cu

.
4. Fie

ascuțitunghic și fie

ortocentrul său. Fie

și

. Cercul circumscris triunghiului

intersectează a doua oară cercul circumscris triunghiului

în

. Arătați că bisectoarele unghiurilor

and

se intersectează într-un punct de pe dreapta

.
5. Pe un rând sunt scrise câteva numere. O
operație constă în alegerea a două numere alăturate astfel încât cel din stânga este mai mare decât cel din dreapta, dublarea fiecăruia și schimbarea pozițiilor lor. Arătați că se pot face cel mult un număr finit de
operații.