Pre JTST

Pre JTST

Mesajde Doctor Gil » Joi Apr 03, 2014 9:20 pm

1. Fie a,b,c>0 cu abc=1. Arătați că: \dfrac{b+c}{\sqrt{a}}+\dfrac{c+a}{\sqrt{b}}+\dfrac{a+b}{\sqrt{c}}\ge \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3.

2. Punctul E se află pe înălțimea AD,\ (D\in BC) a triunghiului ABC astfel încât m(BEC)=90^\circ. Fie O_1 și O_2 centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor ABE, respectiv ACE, iar F mijlocul segmentului [O_1O_2]. Arătați că dreapta EF trece prin mijlocul laturii [BC].

3. Arătați că pentru orice număr natural n\geq 2 există o mulțime S formată din n numere întregi cu proprietatea că (a-b)^2 divide ab pentru orice a,b\in S cu a\neq b.

4. Fie \triangle ABC ascuțitunghic și fie H ortocentrul său. Fie \{D\}=BH\cap AC și \{E\}=CH\cap AB. Cercul circumscris triunghiului \triangle ADE intersectează a doua oară cercul circumscris triunghiului \triangle ABC în F \neq A. Arătați că bisectoarele unghiurilor \angle BFC and \angle BHC se intersectează într-un punct de pe dreapta BC.

5. Pe un rând sunt scrise câteva numere. O operație constă în alegerea a două numere alăturate astfel încât cel din stânga este mai mare decât cel din dreapta, dublarea fiecăruia și schimbarea pozițiilor lor. Arătați că se pot face cel mult un număr finit de operații.
Doctor Gil
 
Mesaje: 216
Membru din: Mar Iul 05, 2011 8:48 pm

Re: Pre JTST

Mesajde Pricope Tidor-Vlad » Joi Apr 03, 2014 11:40 pm

1. Fie s=a+b+c si u=\sum{\sqrt{a}}. Din Chebyshev, avem ca LHS \ge  \dfrac{6s}{u}. Ramane sa aratam ca 6s\ge u^2+3u, dar folosind ca u\le \sqrt{3s}, se reduce la s \ge 3, evident adevarat.
“Make things as simple as possible, but not simpler.” - Albert Einstein
Pricope Tidor-Vlad
 
Mesaje: 276
Membru din: Vin Sep 28, 2012 4:04 pm
Localitate: Botosani

Re: Pre JTST

Mesajde Calin Spiridon » Vin Apr 04, 2014 10:27 am

1.Sau cu substitutiile x=\sqrt{a},y=\sqrt{b},z=\sqrt{c} ramane sa aratam ca:
\displaystyle\sum\limits\dfrac{x^2+y^2}{z}\ge x+y+z+3.Dupa ce aplicam Chauchy ajungem la x+y+z\ge3,evident.
Calin Spiridon
 
Mesaje: 21
Membru din: Mie Sep 04, 2013 7:48 pm
Localitate: Piatra-Neamţ

Re: Pre JTST

Mesajde Stefan Tudose » Vin Apr 04, 2014 12:12 pm

2. Fie X mijlocul segmentului BE, Y mijlocul segmentului CE si O_{1}X\cap O_{2}Y=\{M\}. Evident, M este mijlocul lui [BC].

EXMY este dreptunghi, deci \widehat{EMX}=\widehat{YXM}. Dar XY este linie mijlocie in triunghiul \triangle{EBC}, deci XY\parallel BC\parallel O_1O_2\Rightarrow \widehat{MO_1O_2}=\widehat{MXY}=\widehat{EMX}.

In acelasi timp, triunghiul \triangle{O_1O_2M} este dreptunghic iar MF este mediana, deci \widehat{FMO_1}=\widehat{MO_1O_2}=\widehat{EMO_1}.

Asadar, M-E-F coliniare.
Stefan Tudose
 
Mesaje: 258
Membru din: Mar Aug 30, 2011 7:25 pm

Re: Pre JTST

Mesajde Stefan Tudose » Vin Apr 04, 2014 12:41 pm

4. Fie Z simetricul lui H fata de BC si \{Z^\prime\}=FH\cap (ABC).

Cum \widehat{HFA}=180^\circ-\widehat{HDA}=90^\circ, rezulta ca AZ^\prime diametru, deci FZ^\prime mediana in triunghiul \triangle{FBC}.

In acelasi timp, \widehat{Z^\prime FC}=90^\circ-\hat{B}=\widehat{BCZ}=\widehat{BFZ}, deci FZ este simediana in triunghiul \triangle{FBC}, i.e. patrulaterul FBZC este armonic.

Conchidem ca \dfrac{FB}{FC}=\dfrac{BZ}{CZ}=\dfrac{HB}{HC}, adica bisectoarele unghiurilor \widehat{BFC} si \widehat{BHC} se taie pe [BC]
Stefan Tudose
 
Mesaje: 258
Membru din: Mar Aug 30, 2011 7:25 pm

Re: Pre JTST

Mesajde mdg1999 » Vin Apr 04, 2014 1:12 pm

Aplicam medii pentru numaratori,apoi aplicam inegalitatea ab+bc+ac<=a^2+b^2+c^2,si dupa este evident.
mdg1999
 
Mesaje: 5
Membru din: Vin Dec 21, 2012 4:56 pm

Re: Pre JTST

Mesajde mdg1999 » Vin Apr 04, 2014 1:37 pm

La 2 ,dupa ce luam X,Y,si M,putem observa ca MF e mediana in triunghiul MO1O2,iar triunghiurile EO1F,EO2F au aceeasi arie.
mdg1999
 
Mesaje: 5
Membru din: Vin Dec 21, 2012 4:56 pm

Re: Pre JTST

Mesajde dangerous storm » Dum Dec 21, 2014 3:48 pm

3.Rezultatul urmator,care este mult mai puternic a fost dat USA TST 2015,autorul problemei fiind Iurie Boreico:
"Prove that for every n\in\mathbb{N},there exists a set S of n positive integers such that for any two distinct a,b\in S,a-b divides a and b but none of the other elements of S.".
dangerous storm
 
Mesaje: 145
Membru din: Joi Iul 03, 2014 9:29 pm


Înapoi la Juniori

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 1 vizitator

cron