In patrulaterul convex $ABCD$ avem ca $m(\angle BCD)=m(\angle ADC) \ge 90$. Bisectoarele unghiurilor $BAD$ si $ABC$ se intersecteaza in $M$. Demonstrati ca daca $M \in CD$, atunci $M$ este mijlocul lui $CD$.
Maria Mihet, Timisoara
Problema 2, Olimpiada nationala de Matematica, Oradea 2011
Problema 2, Olimpiada nationala de Matematica, Oradea 2011
Catană Adrian,
Elev la CNIV, Targoviste, clasa a X-a
Elev la CNIV, Targoviste, clasa a X-a
- Laurențiu Ploscaru
- Mesaje: 1237
- Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
- Localitate: Călimănești
- Contact:
Re: Problema 2, Olimpiada nationala de Matematica, Oradea 20
Fie $\{S\}=AD\cap BM$ și $\{T\}=BC\cap AM$.
Fie $m(\angle ABC)=2x$ și $m(\angle BAD)= 2y$.
Cum $\angle BCD\equiv \angle ADC$, în $\triangle BCM$ și $\triangle ADM$ avem:
$\left.\begin{array}{l}x+m(\angle BMC)=y+m(\angle AMD)\\\text{Dar }m(\angle BMC)+m(\angle AMD)=x+y\end{array}\right\}$ => $m(\angle BMC)=y$ și $m(\angle AMD)=x$
Astfel $\triangle BTM\sim \triangle MTC$ => $\frac{BM}{MC}=\frac{BT}{TM}=\frac{AB}{AM}$(conform T bis). Deci $CM=\frac{AM*BM}{AB}$.
Dar și $\triangle ASM\sim \triangle MSD$ => $\frac{AM}{MD}=\frac{AS}{SM}=\frac{AB}{BM}$(conform T bis). Deci $DM=\frac{AM*BM}{AB}$.
Din ultimele 2 relații => $MC=MD$, iar cum $M\in [CD]$ => $M=mijl[CD]$.
Fie $m(\angle ABC)=2x$ și $m(\angle BAD)= 2y$.
Cum $\angle BCD\equiv \angle ADC$, în $\triangle BCM$ și $\triangle ADM$ avem:
$\left.\begin{array}{l}x+m(\angle BMC)=y+m(\angle AMD)\\\text{Dar }m(\angle BMC)+m(\angle AMD)=x+y\end{array}\right\}$ => $m(\angle BMC)=y$ și $m(\angle AMD)=x$
Astfel $\triangle BTM\sim \triangle MTC$ => $\frac{BM}{MC}=\frac{BT}{TM}=\frac{AB}{AM}$(conform T bis). Deci $CM=\frac{AM*BM}{AB}$.
Dar și $\triangle ASM\sim \triangle MSD$ => $\frac{AM}{MD}=\frac{AS}{SM}=\frac{AB}{BM}$(conform T bis). Deci $DM=\frac{AM*BM}{AB}$.
Din ultimele 2 relații => $MC=MD$, iar cum $M\in [CD]$ => $M=mijl[CD]$.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.