parte intreaga
parte intreaga
Arătați că $[x]+[nx]=[(n+1)x]$,$n\in \mathbb{N}$ dacă și numai dacă $x \in \mathbb{Z}$.
Liceul Teoretic Cobani
-
dangerous storm
- Mesaje: 145
- Membru din: Joi Iul 03, 2014 9:29 pm
Re: parte intreaga
Bineinteles ca enuntul corect este:Aratati ca $[x]+[nx]=[(n+1)x] \forall n\in\mathbb{N}$ daca si numai daca $x\in\mathbb{Z}$.Asa cum a fost problema enuntata initial putem lua $x=\frac{1}{3},n=1$,iar egalitatea se va tine,dar $x$ nu este numar intreg.
Revenind la problema(cea cu enuntul corect,nu cea cu enuntul gresit):"->"vom obtine imediat $n\cdot [x]=[nx] \forall n\in\mathbb{N}$,lucru echivalent cu $n\{x\}<1 \forall n\in\mathbb{N}$.Daca $\{x\}=0$,atunci este evident ca $x\in\amthbb{Z}$.Presupunem $\{x\}\neq 0$.Atunci pentru $n$ suficient de mare vom obtine $n\cdot \{x\}>1$,contradictie.
"<-"Este evident ca daca $x\in\mathbb{Z}$,atunci $[x]+[nx]=x+nx=x(n+1)=[(n+1)x]\forall n\in\mathbb{N}$.
Revenind la problema(cea cu enuntul corect,nu cea cu enuntul gresit):"->"vom obtine imediat $n\cdot [x]=[nx] \forall n\in\mathbb{N}$,lucru echivalent cu $n\{x\}<1 \forall n\in\mathbb{N}$.Daca $\{x\}=0$,atunci este evident ca $x\in\amthbb{Z}$.Presupunem $\{x\}\neq 0$.Atunci pentru $n$ suficient de mare vom obtine $n\cdot \{x\}>1$,contradictie.
"<-"Este evident ca daca $x\in\mathbb{Z}$,atunci $[x]+[nx]=x+nx=x(n+1)=[(n+1)x]\forall n\in\mathbb{N}$.