turneul olimpicilor scoala gimnaziala numarul 97 problema 2

[Doctor Gil]

Se considera multimea:

S={$n\in\Bbb{N}$ | n-1,n si n+1 pot fi scrise ca suma de patrate perfecte nenule}.
a) Demonstrati ca $289\in S$ si $2014\notin S$.
b) Demonstrati ca daca $n\in S$ atunci $n^{2}\in S$.

[ghenghea1]

a) 289=4*72+1,deci apartine.2014=4*501+2,deci nu apartine.
b)Stim ca n=4k+1 apartine.Deci n^2=(4k+1)^2=16k^2+8k+1=4k(4k+2k)+1,care tot apartine.

[dangerous storm]

Cred ca multimea S din enunt este de fapt $S={n\in\mathbb{N^*}$|$n-1,n,n+1$ pot fi scrise ca suma de doua patrate perfecte},deoarece daca S este multimea data in enunut,atunci $S=\mathbb{N}$ din Teorema lui Lagrange care afirma ca orice numar natural nenul poate fi scris ca suma de patru patrate perfecte.