$1.$ $a)$ Afla$\c{t}$i restul impar$\c{t}$irii unui numar natural impar patrat perfect, la $8.$
$b)$ Arata$\c{t}$i c$\u{a}$ oricare ar fi numerele naturale $k$ $\c{s}$i $n$, numarul $x=(4k+2)^{n}+2^{n+2}$ nu este p$\u{a}$trat perfect.
Problema 1 concursul interjudetean modus vivendi 2014
-
radu alberto
- Mesaje: 89
- Membru din: Joi Apr 04, 2013 4:38 pm
-
dangerous storm
- Mesaje: 145
- Membru din: Joi Iul 03, 2014 9:29 pm
Re: Problema 1 concursul interjudetean modus vivendi 2014
a)Avem $(2a+1)^2=4a^2+4a+1=4a(a+1)+1\equiv 1(mod 8)$,pentru orice numar natural $a$.
b)Daca $n$este impar,atunci numarul $x$ nu este patrat perfect,deoarece $v_2(x)=n$.
Daca $n$ este par,atunci numarul $\frac{(4k+2)^n+2^{n+2}}{2^n}=(2k+1)^n+4$ trebuie sa fie patrat perfect.Dar folosind "carja" de la a) obtinem $(2k+1)^n+4\equiv 5(mod 8)$,contradictie.
b)Daca $n$este impar,atunci numarul $x$ nu este patrat perfect,deoarece $v_2(x)=n$.
Daca $n$ este par,atunci numarul $\frac{(4k+2)^n+2^{n+2}}{2^n}=(2k+1)^n+4$ trebuie sa fie patrat perfect.Dar folosind "carja" de la a) obtinem $(2k+1)^n+4\equiv 5(mod 8)$,contradictie.