Viitori Olimpici - Problema 1

Viitori Olimpici - Problema 1

Mesajde Laurențiu Ploscaru » Joi Aug 18, 2011 7:40 am

Rezolvați în numere întregi sistemul:

a^2\le b+c
b^2\le c+a
c^2\le a+b
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
 
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești

Re: Viitori Olimpici - Problema 1

Mesajde seby » Joi Aug 18, 2011 12:35 pm

Adunam relatiile si obtinem: a^2+b^2+c^2 =< 2(a+b+c) de unde (a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2=< 3
Fara a restrange generalitatea presupunem(datorita simetriei) ca a=< b=<c
Se observa ca a < 3 deoarece pentru a mai mare sau egal cu 3 avem (a-1)^2>4>3 deci Fals
Analizam cazurile a=0,a=1,a=2 si se obtin solutiile (a,b,c) apartine {(0,0,0);(0,1,1);(1,0,1);(1,1,0);(1,1,1);(2,2,2)}
Acum pentru a<0 avem ca b,c>0 ,caci daca nu suma a doua dintre ele va fi negativa si mai mare decat un patrat perfect deci fals.
Daca a<0 implica min(a)=-1 de unde (a-1)^2>3 deci fals
Cojocariu Sebastian
C.N "Mihai Eminescu",Botosani,elev clasa a 9a
seby
 
Mesaje: 491
Membru din: Mie Iul 06, 2011 11:57 pm
Localitate: Botosani


Înapoi la Probleme

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 1 vizitator

cron