Pagina 1 din 1

Viitori Olimpici - Problema 2

MesajScris: Joi Aug 18, 2011 7:37 am
de Laurențiu Ploscaru
Se consideră un segment AB și 2011 puncte distincte în interiorul său. Punctul A se colorează cu roșu, punctul B cu negru, iar fiecare din cele 2011 puncte considerate se colorează cu roșu sau cu negru. Arătați că, pentru cele 2012 segmente care nu au nici-un alt punct comun din cele 2011 puncte, determinate de ele, numărul segmentelor cu extremitățile colorate diferit nu poate fi egal cu numărul segmentelor cu extremitățile colorate cu aceeași culoare.

Re: Viitori Olimpici - Problema 2

MesajScris: Sâm Aug 20, 2011 1:00 pm
de andreiteodor
Atriubuim unui segment cu extremitatile moncolore valoarea 0 si unui segment cu capetele colorate diferit valoarea 1. Notam cu S_n suma valorilor a (n+1) segmente determinate de n puncte din inerioriorul segmentului [AB]. Demonstam ca oricare ar fi n=0,2011 , S_n este impara. Pentru n=0, este clar ca S_0=1.. In continuare aplicam inductia. Sa presupunem S_n este impara . Sa mai adaugam un punct P in interiorul lui [AB] astfel incat P apartine segmentului [CD] (C si D se afla printre cele n puncte precedente si in interiorul lui [CD] nu mai exista niciun punct dintre cele n). Studiem cazurile:
i)C si D au aceesi culoare cu P=> [CD],[PC],[PD] au valoarea 0=>S_n=S_{n+1}
ii)C si D au aceeasi culoare , diferita de a lui P=>[CD] are valoarea 0 si [PC],[PD] au valoarea 1=>S_{n+1}=S_n+2
iii)C si D au culori diferite=> [CD] are valoarea 1 si exact unul din segmentele [PC],[PD] are valoarea 1=>S_{n+1}=S_n.
Deci S_n este impara. Pentru ca S_n\neq 1006, concluzia este imediata.

Re: Viitori Olimpici - Problema 2

MesajScris: Sâm Aug 20, 2011 1:13 pm
de Laurențiu Ploscaru
Altfel: (soluția mea din concurs)
Fie a nr. de segmente N-R, x nr. de segmente R-R și y nr. de segmente N-N. Presupunem, prin absurd, că a=x+y. Atunci a=1006.
Pentru cele a segmente avem a puncte roșii și a puncte negre. Pentru cele x segmente avem 2x puncte roșii, iar pentru cele y segmente 2y puncte negre.
Dar observăm că în afară de A și B, toate punctele au fost numărate de 2 ori. Deci avem \frac{a+2x+1}{2} puncte roșii, iar evident numărul de puncte roșii este natural.
Deci a e impar, contradicție, deoarece 1006 e par.