Viitori Olimpici - Problema 2
- Laurențiu Ploscaru
- Mesaje: 1237
- Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
- Localitate: Călimănești
- Contact:
Viitori Olimpici - Problema 2
Se consideră un segment $AB$ și $2011$ puncte distincte în interiorul său. Punctul $A$ se colorează cu roșu, punctul $B$ cu negru, iar fiecare din cele $2011$ puncte considerate se colorează cu roșu sau cu negru. Arătați că, pentru cele $2012$ segmente care nu au nici-un alt punct comun din cele $2011$ puncte, determinate de ele, numărul segmentelor cu extremitățile colorate diferit nu poate fi egal cu numărul segmentelor cu extremitățile colorate cu aceeași culoare.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
-
- Mesaje: 491
- Membru din: Joi Mar 17, 2011 3:09 pm
- Localitate: Sinesti
Re: Viitori Olimpici - Problema 2
Atriubuim unui segment cu extremitatile moncolore valoarea 0 si unui segment cu capetele colorate diferit valoarea 1. Notam cu $S_n$ suma valorilor a (n+1) segmente determinate de n puncte din inerioriorul segmentului [AB]. Demonstam ca oricare ar fi n=0,2011 , $S_n$ este impara. Pentru n=0, este clar ca $S_0=1.$. In continuare aplicam inductia. Sa presupunem $S_n$ este impara . Sa mai adaugam un punct P in interiorul lui [AB] astfel incat P apartine segmentului [CD] (C si D se afla printre cele n puncte precedente si in interiorul lui [CD] nu mai exista niciun punct dintre cele n). Studiem cazurile:
i)C si D au aceesi culoare cu P=> [CD],[PC],[PD] au valoarea 0$=>S_n=S_{n+1}$
ii)C si D au aceeasi culoare , diferita de a lui P=>[CD] are valoarea 0 si [PC],[PD] au valoarea 1$=>S_{n+1}=S_n+2$
iii)C si D au culori diferite=> [CD] are valoarea 1 si exact unul din segmentele [PC],[PD] are valoarea 1$=>S_{n+1}=S_n$.
Deci $S_n$ este impara. Pentru ca $S_n\neq 1006$, concluzia este imediata.
i)C si D au aceesi culoare cu P=> [CD],[PC],[PD] au valoarea 0$=>S_n=S_{n+1}$
ii)C si D au aceeasi culoare , diferita de a lui P=>[CD] are valoarea 0 si [PC],[PD] au valoarea 1$=>S_{n+1}=S_n+2$
iii)C si D au culori diferite=> [CD] are valoarea 1 si exact unul din segmentele [PC],[PD] are valoarea 1$=>S_{n+1}=S_n$.
Deci $S_n$ este impara. Pentru ca $S_n\neq 1006$, concluzia este imediata.
Nimic nu-i niciodata asa de simplu cum pare.
- Laurențiu Ploscaru
- Mesaje: 1237
- Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
- Localitate: Călimănești
- Contact:
Re: Viitori Olimpici - Problema 2
Altfel: (soluția mea din concurs)
Fie $a$ nr. de segmente $N-R$, $x$ nr. de segmente $R-R$ și $y$ nr. de segmente $N-N$. Presupunem, prin absurd, că $a=x+y$. Atunci $a=1006$.
Pentru cele $a$ segmente avem $a$ puncte roșii și $a$ puncte negre. Pentru cele $x$ segmente avem $2x$ puncte roșii, iar pentru cele $y$ segmente $2y$ puncte negre.
Dar observăm că în afară de $A$ și $B$, toate punctele au fost numărate de 2 ori. Deci avem $\frac{a+2x+1}{2}$ puncte roșii, iar evident numărul de puncte roșii este natural.
Deci $a$ e impar, contradicție, deoarece $1006$ e par.
Fie $a$ nr. de segmente $N-R$, $x$ nr. de segmente $R-R$ și $y$ nr. de segmente $N-N$. Presupunem, prin absurd, că $a=x+y$. Atunci $a=1006$.
Pentru cele $a$ segmente avem $a$ puncte roșii și $a$ puncte negre. Pentru cele $x$ segmente avem $2x$ puncte roșii, iar pentru cele $y$ segmente $2y$ puncte negre.
Dar observăm că în afară de $A$ și $B$, toate punctele au fost numărate de 2 ori. Deci avem $\frac{a+2x+1}{2}$ puncte roșii, iar evident numărul de puncte roșii este natural.
Deci $a$ e impar, contradicție, deoarece $1006$ e par.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.