Viitori Olimpici - Problema 3

Viitori Olimpici - Problema 3

Mesajde Laurențiu Ploscaru » Joi Aug 18, 2011 7:20 am

Se consideră paralelogramul ABCD de centru O, și punctele E și F a.î. E\in (AB), D\in (AF),iar patrulaterul EDFO este paralelogram. Dacă triunghiul \triangle ECF este dreptunghic isoscel de bază [EF], arătați că ABCD este pătrat.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
 
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești

Re: Viitori Olimpici - Problema 3

Mesajde andreiteodor » Sâm Aug 20, 2011 1:21 pm

Prelungim [CE] pana intersecteaza AD in S. Avem CE=CF=CF. Aplicand teorema lui Pitagora in \triangle{CFS}:
CF^2+CS^2=FS^2=>CF^2=\dfrac{5}{4}*b^2 (1), unde b=AD.
Fie U simetricul lui D fata de F. Avem BCUD paralelogram , deci CU=BD. Aplicand teorema medianei in triunghiurile CDU si ACB , obtinem:
CE=CF=\dfrac{2(AC^2+b^2)-a^2}{4}==\dfrac{2(BD^2+a^2)-b^2. Avem :
2(AC^2-BD^2)=3(a^2-b^2).
Aplicand teorema lui Euler in ABCD, avem :
AC^2+BD^2=2(a^2+b^2).
Inmultind cu 2 ultima relatie si adunand, avem :
AC^2=\dfrac{7a^2+b^2}{4}.
Atunci CE^2=\dfrac{5(a^2+b^2)}{8} (2).
Din (1) si (2), avem a=b. Urmeaza ca triunghiurile CDF si CBE sunt congruente, deci ABCD este patrat.
Nimic nu-i niciodata asa de simplu cum pare.
andreiteodor
 
Mesaje: 491
Membru din: Joi Mar 17, 2011 3:09 pm
Localitate: Sinesti


Înapoi la Probleme

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 1 vizitator

cron