Viitori Olimpici - Problema 3

[Laurențiu Ploscaru]

Se consideră paralelogramul $ABCD$ de centru $O$, și punctele $E$ și $F$ a.î. $E\in (AB)$, $D\in (AF)$,iar patrulaterul $EDFO$ este paralelogram. Dacă triunghiul $\triangle ECF$ este dreptunghic isoscel de bază $[EF]$, arătați că $ABCD$ este pătrat.

[andreiteodor]

Prelungim [CE] pana intersecteaza AD in S. Avem CE=CF=CF. Aplicand teorema lui Pitagora in $\triangle{CFS}$:
$CF^2+CS^2=FS^2=>CF^2=\dfrac{5}{4}*b^2$ (1), unde b=AD.
Fie U simetricul lui D fata de F. Avem BCUD paralelogram , deci CU=BD. Aplicand teorema medianei in triunghiurile CDU si ACB , obtinem:
$CE=CF=\dfrac{2(AC^2+b^2)-a^2}{4}=$$=\dfrac{2(BD^2+a^2)-b^2$. Avem :
$2(AC^2-BD^2)=3(a^2-b^2)$.
Aplicand teorema lui Euler in ABCD, avem :
$AC^2+BD^2=2(a^2+b^2)$.
Inmultind cu 2 ultima relatie si adunand, avem :
$AC^2=\dfrac{7a^2+b^2}{4}$.
Atunci $CE^2=\dfrac{5(a^2+b^2)}{8}$ (2).
Din (1) si (2), avem a=b. Urmeaza ca triunghiurile CDF si CBE sunt congruente, deci ABCD este patrat.