Problema 3, OJM 2012

Doctor Gil
Mesaje: 216
Membru din: Mar Iul 05, 2011 8:48 pm

Problema 3, OJM 2012

Mesaj de Doctor Gil »

Se considera 51 de numere naturale pare diferite doua cate doua. Demonstrati ca putem alege doua dintre acestea cu proprietatea ca produsul dintre suma si diferenta lor este divizibil cu 400.
Anghelina Ion
Mesaje: 59
Membru din: Sâm Apr 20, 2013 8:33 pm
Localitate: Dragasani, Valcea

Re: Problema 3, OJM 2012

Mesaj de Anghelina Ion »

Scriem numarul 400=100*4
Cum cele 51 de numere sunt pare, resturile lor la impartirea la 100 pot fi $\{0,2,4,...,98\}$ adica 50 de resturi
Conform Principiului cutiei exista 2 numere din cele 51 (fie acestea a si b) astfel incat a-b$\vdots$100
Mai departe putem face urmatoarea observatie ca daca cele 2 numere dau acelasi rest la impartirea la 100, atunci ele dau acelasi rest si la impartirea la 4 deoarece 100$\vdots$4
Astfel ne vom afla in 2 situatii (a,b)=$\{4k,4k+2\}$
Pentru (a,b)=4k $\Rightarrow$ a+b=4k
Pentru (a,b)=4k+2 $\Rightarrow$ a+b=4(k+1)
Cum (a-b)$\vdots$100 si (a+b)$\vdots$4 $\Rightarrow$ (a-b)(a+b)$\vdots$400
Scoala Tudor Vladimirescu, Dragasani
Clasa a VIII-a
Scrie răspuns