Yakutia 2014 Juniori
Scris: Dum Iul 13, 2014 3:14 pm
Ziua 1
1. Fiind date trei numere prime, care este numarul maxim dintre ele care divid suma?
2. Un "paralelogram" $k\times l$ este desenat cu celule hexagonale. In acest paralelogram, o multime de laturi (de hexagoane) ce nu se intersecteaza este aleasa; aceasta multime imparte toate varfurile in perechi. Cate laturi verticale sunt in aceasta multime?
Toate hexagoanele sunt regulate si identice, avand doua laturi paralele cu ordonata.
3.Punctele $K$ si $L$ pe latura $BC$ sunt atfel incat $\widehat{BAK}=\widehat{CAL}=90^\circ$. Demonstrati ca mijlocul inaltimii din $A$, mijlocul lui $KL$ si circumcentrul triunghiului $\triangle{ABC}$
4.Numerele pozitive $a,\ b,\ c$ satisfac $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3$. Demonstrati inegalitatea:
$\dfrac{1}{\sqrt{a^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^3+1}}\le \dfrac{3}{\sqrt{2}}$
Ziua 2
1. Pentru doua trinoame de gradul doi $P(x)$ si $Q(x)$ exista o functie liniara $l(x)$ astfel incat $P(x)=Q(l(x))$ pentru toate numerele reale $x$. Cate astfel de functii liniare $l(x)$ exista?
2. Raza cercului $\omega_{A}$ cu centrul in varful $A$ al triunghiului $ABC$ este egala cu raza cercului $\hat{A}$-exinscris. Cercurile $\omega_B, \ \omega_C$ sunt definite analog. Demonstrati ca daca doua din aceste cercuri sunt tangente, atunci oricare doua sunt tangente intre ele.
3. Fiecare din cele $n$ patrate albe si cele $n$ patrate negre pot fi obtinute printr-o translatie a oricarui alt patrat. Oricare doua patrate cu culori diferite au un punct comun. Demonstrati ca exista un punct ce apartine la cel putin $n$ patrate.
4. Sunt $m$ orase pe malul stang al raului Lena, $n$ orase pe malul drept si un oras pe o insula. Se stie ca $(m+1,n+1)>1$. Oricare doua orase care sunt separate de apa sunt conectate printr-un feribot pe care este scris un numar natural.
Locuitorii fiecarui oras sustin ca toate feriboturile ce pleaca/vin (d)in orasul lor au scris pe ele numere diferite si aceste numere formeaza un segment al numerelor intregi (sunt consecutive). Demonstrati ca cel putin cativa locuitori nu au dreptate.
1. Fiind date trei numere prime, care este numarul maxim dintre ele care divid suma?
2. Un "paralelogram" $k\times l$ este desenat cu celule hexagonale. In acest paralelogram, o multime de laturi (de hexagoane) ce nu se intersecteaza este aleasa; aceasta multime imparte toate varfurile in perechi. Cate laturi verticale sunt in aceasta multime?
Toate hexagoanele sunt regulate si identice, avand doua laturi paralele cu ordonata.
3.Punctele $K$ si $L$ pe latura $BC$ sunt atfel incat $\widehat{BAK}=\widehat{CAL}=90^\circ$. Demonstrati ca mijlocul inaltimii din $A$, mijlocul lui $KL$ si circumcentrul triunghiului $\triangle{ABC}$
4.Numerele pozitive $a,\ b,\ c$ satisfac $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3$. Demonstrati inegalitatea:
$\dfrac{1}{\sqrt{a^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^3+1}}\le \dfrac{3}{\sqrt{2}}$
Ziua 2
1. Pentru doua trinoame de gradul doi $P(x)$ si $Q(x)$ exista o functie liniara $l(x)$ astfel incat $P(x)=Q(l(x))$ pentru toate numerele reale $x$. Cate astfel de functii liniare $l(x)$ exista?
2. Raza cercului $\omega_{A}$ cu centrul in varful $A$ al triunghiului $ABC$ este egala cu raza cercului $\hat{A}$-exinscris. Cercurile $\omega_B, \ \omega_C$ sunt definite analog. Demonstrati ca daca doua din aceste cercuri sunt tangente, atunci oricare doua sunt tangente intre ele.
3. Fiecare din cele $n$ patrate albe si cele $n$ patrate negre pot fi obtinute printr-o translatie a oricarui alt patrat. Oricare doua patrate cu culori diferite au un punct comun. Demonstrati ca exista un punct ce apartine la cel putin $n$ patrate.
4. Sunt $m$ orase pe malul stang al raului Lena, $n$ orase pe malul drept si un oras pe o insula. Se stie ca $(m+1,n+1)>1$. Oricare doua orase care sunt separate de apa sunt conectate printr-un feribot pe care este scris un numar natural.
Locuitorii fiecarui oras sustin ca toate feriboturile ce pleaca/vin (d)in orasul lor au scris pe ele numere diferite si aceste numere formeaza un segment al numerelor intregi (sunt consecutive). Demonstrati ca cel putin cativa locuitori nu au dreptate.