Western china 2011 ziua 1

[mircea.lascu]

problema 1
fie x,y care apartin intervalului (0,1) sa se gaseasca maximul expresiei $\frac{xy(1-x-y)}{(x+y)(1-x)(1-y)}$
problema 2
fie M={1,2,.....2011} si S o submultime din M din care din oricare 3 elemente exista 2 astfel incat unul il divide pe celalalt. gasiti max CARD(S)
Problema 3
fie K multimea submultimilor lui {1,2.....n} demonstrati ca aceste submultimi pot fi numerotate $A_1.....A_2^N$ astfel incat $A_{2^N+1}$=$A_1$ si $A_{N+1}=A_{N}+-1$ (plus minus)
b) sa se calculeze valorile posibile a sumei $sum_{i=1}^{2^{n}}(-1)^iS(A_I)$ si $S(A_I)$= suma elementelor multimii $A_I$
Problema 4
fie ABCD un patrulater inscris in cercul c1 cu cercul O si fie E intersectia diagonalelor sale si fie c2 de centru I tangent la laturile EC SI ED si la cercrul c1 in punctul F. fie dreapta L a carui intersectie cu segmentele EC si EB sa formeze un triunghi isoscel. dreapta L se intersecteaza cu dreapta EF in punctul M sa se arate ca tangentele din punctul M la cercul c1 sunt paralele cu diaconalele AC si BD.

[Mr. Ady]

La prima problema maximul este $\frac{1}{8}$