Yakutia 2011 Ziua 1 Juniori

Yakutia 2011 Ziua 1 Juniori

Mesajde Catalin Fetoiu » Mar Iul 26, 2011 8:39 am

1.Copii de culorile rosu,verde si albastru stau in cerc.Cand profesoara le-a spus copiilor rosii care au un vecin verde sa ridice mana, 20 de copii au ridicat mana.Cand profesoara le-a spus copiilor albastri care au un vecin verde sa ridice mana, 25 de copii au ridicat mana.Sa se demonstreze ca exista un copil care a ridicat mana si care are doi vecini verzi.

2.In cate moduri poate fi taiat un patrat 11x11 dintr-un patrat 2011x2011 astfel incat figura ramasa sa poata fi acoperita cu dominouri 1x2 fara ca acestea sa se suprapuna si fara a iesi in afara figurii?

3.Cercul C-exancris al triunghiului ABC este tangent la latura AB in P si la prelungirile laturilor AC,BC in Q,R.Sa se demonstreze ca daca mijlocul segementului PQ se gaseste pe cercul circumscris triunghiului ABC, atunci si mijlocul segmentului PR se gaseste pe acelasi cerc.

4.Sa se demonstreze ca printre 100000 numere consecutive cu 100 de cifre fiecare exista un numar n astfel incat lungimea perioadei din scrierea zecimala a lui \frac{1}{n} este mai mare strict decat 2011.
Fetoiu Cătălin
Elev la C.N. "Iancu de Hunedoara", Hunedoara, clasa a X-a
Catalin Fetoiu
 
Mesaje: 192
Membru din: Dum Mai 29, 2011 4:24 pm

Re: Yakutia 2011 Ziua 1 Juniori

Mesajde BocanuMarius » Mar Iul 26, 2011 12:18 pm

Fie E,F mijloacele repectiv ale lui QP si PR, EF \parallel QR. Vom arata ca AFEB inscriptibil. \widehat{AEP}=90, \widehat{PEF}=\widehat{PQR}=90-\frac{A+C}{2} (CQI_cR inscriptibil, I_cQAP inscriptibil), \widehat{ABE}=90-\frac{B}{2}, asadar AFEB inscriptibil, si de aici totul decurge usor.
Exista lucruri care stim ca sunt imposibil de realizat, pana vine cineva care nu stie acest lucru si le realizeaza.
BocanuMarius
 
Mesaje: 365
Membru din: Vin Dec 17, 2010 8:44 am

Re: Yakutia 2011 Ziua 1 Juniori

Mesajde Laurențiu Ploscaru » Joi Aug 11, 2011 9:47 am

Problema 1:

Notă: Dacă A și B sunt 2 copii verzi vecini, atunci vom considera perechile (A,B) și (B,A) diferite, deoarece într-o pereche componentul principal va fi copilul verde, iar în prima pereche el va fi A, în a 2-a B.
Fiecare copil verde are 2 vecini, deci numărul de perechi (\text{copil verde},\text{ copil vecin cu el}) va fi 2v, unde v este \text{numarul de copii verzi}.
În cazul în care copiii roșii și copiii albaștri ar avea doar un vecin verde, atunci ei ar forma 20+25=45 de perechi.
Ne mai rămân perechile \text{verzi-verzi}, care vor fi \text{in numar par}, datorită afirmației de la începutul demonstrației.
Atunci am avea 45+\text{ numar par }=\text{ numar par}, contradicție!
Deci există cel puțin un copil roșu sau albastru cu 2 vecini verzi.
People are strange when you're a stranger,
Faces look ugly when you're alone.
Women seem wicked when you're unwanted,
Streets are uneven when you're down.
Avatar utilizator
Laurențiu Ploscaru
 
Mesaje: 1237
Membru din: Mie Mai 04, 2011 5:42 pm
Localitate: Călimănești

Re: Yakutia 2011 Ziua 1 Juniori

Mesajde andreiteodor » Sâm Apr 14, 2012 6:37 pm

1. Pentru a arata ca daca niciun copil ce nu este verde nu sta intre doi copii verzi, atunci numarul total de copii ce ridica mana este par, putem proceda si astfel :
Pentru 0 copii verzi, avem 0 copii care ridica mana.
Sa presupunem ca avem un numar de copii verzi si mai punem pe cerc inca unul. Sa zicem ca acesta sta intre perechile (x;y) si (z;t). Daca y sau z este verde, nu se schimba nimic. Daca ei nu sunt verzi, atunci obligatoriu, nici x si t nu sunt verzi. Cand punem noul copil, y si z vor ridica mana, deci intodeauna numarul celor care ridica mana este par.
Nimic nu-i niciodata asa de simplu cum pare.
andreiteodor
 
Mesaje: 491
Membru din: Joi Mar 17, 2011 3:09 pm
Localitate: Sinesti

Re: Yakutia 2011 Ziua 1 Juniori

Mesajde andreiteodor » Sâm Apr 14, 2012 6:42 pm

3. Pentru a arata ca AFEB este inscriptibil, era suficient sa aplicam teorema catetei si puterea punctului : I_aF*I_aA=I_aP^2=I_aE*I_aB.
Nimic nu-i niciodata asa de simplu cum pare.
andreiteodor
 
Mesaje: 491
Membru din: Joi Mar 17, 2011 3:09 pm
Localitate: Sinesti


Înapoi la Alte concursuri

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 1 vizitator

cron