Yakutia 2014 Juniori

[Stefan Tudose]

Ziua 1

1. Fiind date trei numere prime, care este numarul maxim dintre ele care divid suma?

2. Un "paralelogram" $k\times l$ este desenat cu celule hexagonale. In acest paralelogram, o multime de laturi (de hexagoane) ce nu se intersecteaza este aleasa; aceasta multime imparte toate varfurile in perechi. Cate laturi verticale sunt in aceasta multime?

Toate hexagoanele sunt regulate si identice, avand doua laturi paralele cu ordonata.

3.Punctele $K$ si $L$ pe latura $BC$ sunt atfel incat $\widehat{BAK}=\widehat{CAL}=90^\circ$. Demonstrati ca mijlocul inaltimii din $A$, mijlocul lui $KL$ si circumcentrul triunghiului $\triangle{ABC}$

4.Numerele pozitive $a,\ b,\ c$ satisfac $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3$. Demonstrati inegalitatea:

$\dfrac{1}{\sqrt{a^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^3+1}}\le \dfrac{3}{\sqrt{2}}$

Ziua 2

1. Pentru doua trinoame de gradul doi $P(x)$ si $Q(x)$ exista o functie liniara $l(x)$ astfel incat $P(x)=Q(l(x))$ pentru toate numerele reale $x$. Cate astfel de functii liniare $l(x)$ exista?

2. Raza cercului $\omega_{A}$ cu centrul in varful $A$ al triunghiului $ABC$ este egala cu raza cercului $\hat{A}$-exinscris. Cercurile $\omega_B, \ \omega_C$ sunt definite analog. Demonstrati ca daca doua din aceste cercuri sunt tangente, atunci oricare doua sunt tangente intre ele.

3. Fiecare din cele $n$ patrate albe si cele $n$ patrate negre pot fi obtinute printr-o translatie a oricarui alt patrat. Oricare doua patrate cu culori diferite au un punct comun. Demonstrati ca exista un punct ce apartine la cel putin $n$ patrate.

4. Sunt $m$ orase pe malul stang al raului Lena, $n$ orase pe malul drept si un oras pe o insula. Se stie ca $(m+1,n+1)>1$. Oricare doua orase care sunt separate de apa sunt conectate printr-un feribot pe care este scris un numar natural.
Locuitorii fiecarui oras sustin ca toate feriboturile ce pleaca/vin (d)in orasul lor au scris pe ele numere diferite si aceste numere formeaza un segment al numerelor intregi (sunt consecutive). Demonstrati ca cel putin cativa locuitori nu au dreptate.