Teste de selectie juniori 2012

[Laurențiu Ploscaru]

BARAJ 1

Problema 1 Fie numerele reale pozitive p și q cu proprietatea că $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$. Arătați că $\dfrac{1}{3}\le \dfrac{1}{p(p+1)}+\dfrac{1}{q(q+1)}<\dfrac{1}{2}$ și că $\dfrac{1}{p(p-1)}+\dfrac{1}{q(q-1)}\ge 1$.

Problema 2 Fie $x,y\in \Bbb{Q}$ și $n$ un număr natural impar. Știind că $x^n-2x=y^n-2y$, arătați că $x=y$.

Problema 3 În $\triangle ABC$ considerăm punctele $D\in (BC)$ și $M\in (AD)$. Notăm $BM\cap AC=\{E\},\ CM\cap AB=\{F\}$ și $EF\cap AD=\{N\}$. Demonstrați că $\dfrac{AN}{ND}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{AM}{MD}$.

Problema 4 $100$ de greutăți cu mase diferite, exprimate prin numere naturale de la $1$ la $100$, se așează pe talerele unei balanțe, a.î. balanța se află în echilibru. Arătați că se pot îndepărta câte două greutăți de pe fiecare taler a.î. balanța să rămână în echilibru.

Problema 5 Fie $\triangle{ABC}$ și $A^\prime , B^\prime, C^\prime$ punctele de contact ale cercului înscris cu laturile $BC,CA,$ respectiv $AB$. Notăm cu $I$ centrul cercului înscris și fie $P$ proiecția lui pe dreapta $AA^\prime$. Fie $M$ mijlocul segmentului $[A^\prime B^\prime]$ și $MP\cap AC=\{N\}$. Aratați că $A^\prime N\parallel B^\prime C^\prime$.

[Laurențiu Ploscaru]

BARAJ 2

Problema 1 Fie $a_1,a_2,...,a_{2012}$ numere reale a.î. $a_1=a_{2012}=2012$ și $a_k\le \dfrac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}$, pentru orice $k=\overline{2,2011}$. Demonstrați că $a_k\le 2012$ pentru orice $k=\overline{1,2012}$.

Problema 2 Dintr-un pătrat $n\times n$ se elimină pătrățelele unitate pentru care numărul liniei și numărul coloanei sunt ambele impare. Aflați numărul minim de dale dreptunghiulare de forma $1\times k$, unde $k\in \{1,2,3,...,n\}$, necesar pentru a pava suprafața rămasă.

Problema 3 Fie $m,n\in \Bbb{N},\ m,n\ge 2$. Rezolvați în $\Bbb{N^*}$ ecuația $x^n+y^n=3^m$.

Problema 4 Se consideră patrulaterul $ABCD$ înscris în cercul de centru $O$, iar $\{P\}=AC\cap BD$ și $\{Q\}=AB\cap CD$.
Notăm cu $R$ cel de-al doilea punct de intersecție al cercurilor circumscrise $\triangle ABP$ și $\triangle CDP$.
$a)$ Arătați că punctele $P,Q,R$ sunt coliniare.
$b)$ Dacă $U$ și $V$ sunt centrele cercurilor circumscrise $\triangle ABP$, respectiv $\triangle CDP$, demonstrați că punctele $U,R,O,V$ sunt conciclice.

[Laurențiu Ploscaru]

BARAJ 3

Problema 1 Fie $a,b,c,d\in \Bbb{R}^{*}$ distincte două câte două care satisfac următoarele condiții: $ac=bd,\ \ \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}=4$. Aflați cea mai mare valoare a expresiei $\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{d}+\dfrac{d}{b}$.

Problema 2 Se consideră un semicerc de diametru $[AB]$ și centru $O$. Fie $C\in [OB]$ arbitrar. Punctul $D$ este pe semicerc a.î. $CD\perp AB$. Un cerc cu centrul în $P$ este tangent arcului $BD$ în $F$ și segmentelor $[AB],\ [CD]$ în $G$, respectiv $E$. Arătați că $\triangle{ADG}$ este isoscel.

Problema 3 Considerăm $a,b,c\in\Bbb{Z^*}$ cu $(a;b;c)=1$.
O mutare constă în transformarea unui triplet de numere întregi $(x;y;z)$ astfel: la unul dintre numerele din triplet se adună un multiplu întreg al unui alt număr din triplet.
Arătați că pornind de la tripletul $(a;b;c)$, în cel mult $5$ mutări, se poate ajunge la tripletul $(1;0;0)$.
Teorema lui Dirichlet: Dacă $(a;b)$ sunt două numere naturale prime între ele, atunci mulțimea $\{a+nb|n\in \Bbb{N} \}$ conține o infinitate de numere prime.

Problema 4 Fie mulțimea $A=\{1;2;...;n\}$, unde $n\in \Bbb{N},\ n\ge 2$. Din mulțimea $A$ se elimină $n-1$ numere a.î.:
$1.$ dacă $a\in A$ a fost eliminat, iar $2a\in A$, atunci și $2a$ a fost eliminat;
$2.$ dacă $a,b\in A,\ (a\neq b)$ au fost eliminate, iar $a+b\in A$, atunci și $a+b$ a fost eliminat.
Care numere trebuie eliminate pentru ca suma elementelor rămase să fie maximă?

[Laurențiu Ploscaru]

BARAJ 4

Problema 1 Arătați că pentru orice $a,b,c>0$ cu $abc=1$, are loc inegalitatea $\dfrac{1}{1+a^2+(b+1)^2}+\dfrac{1}{1+b^2+(c+1)^2}+\dfrac{1}{1+c^2+(a+1)^2}\le \dfrac{1}{2}$.

Problema 2 Fie $n\in \Bbb{N},\ n\ge 2$. Jumătate dintre vârfurile unui poligon cu $2n$ laturi se colorează roșu, iar celelalte cu albastru. Distanțele dintre vârfurile roșii se ordonează crescător și apoi se procedează analog și cu distanțele dintre vârfurile albastre. Demonstrați că cele două secvențe coincid.

Problema 3 Fie $M\in (BC),\ N\in (AC),\ P\in (AB)$ picioarele a trei ceviene concurente în $\triangle ABC$. Paralela prin $N$ la $AB$ taie $PM$ în $E$, iar paralela prin $M$ la $AB$ taie $PN$ în $F$
Arătați că dreptele $MN,\ EF,\ PC$ sunt concurente.

Problema 4 Un număr natural nenul se numește unicat dacă suma inverselor divizorilor săi naturali, inclusiv $1$ și el însuși, nu este egală cu suma inverselor divizorilor naturali ai niciunui alt număr natural nenul.
$a)$ Arătați că orice număr prim este unicat.
$b)$ Arătați că există o infinitate de numere care nu sunt unicat.