Problema 1. Determinati toate numerele prime $a,b,c$ si numerele naturale $k$ care satisfac egalitatea
$a^2+b^2+16c^2=9k^2+1$
Problema 2. Fie $a,b,c$ numere reale pozitive astfel incat $a+b+c=3$. Determinati valoarea minima a expresiei.
$A=\dfrac{2-a^3}{a}+\dfrac{2-b^3}{b}+\dfrac{2-c^3}{c}$
Problema 3. Fie $\triangle{ABC}$ un triunghi ascutitunghic. Dreptele $l_1$ si $l_2$ sunt perpendiculare pe dreapta $AB$ in punctele $A$, respectiv $B$. Perpendicularele duse din mijlocul $M$ al segmentului $[AB]$ pe dreptele $AC$ si $BC$ intersecteaza dreptele $l_1$ si $l_2$ in punctele $E$, respectiv $F$.
Daca $D$ este punctul de intersectie al dreptelor $EF$ si $MC$, aratati ca $\angle{AMB}\equiv\angle{EMF}$.
Problema 4. O "forma $L$" este oricare din urmatoarele patru piese. fiecare constand din trei patratele unitate:
Se dau: o tabla $5\times 5$, constand din $25$ de patratele unitare, un numar natural nenul $k\leq 25$ si o colectie nelimitata de "forme $L$".
Doi jucatori $A$ si $B$ joaca urmatorul joc: incepand cu $A$, ei marcheaza alternativ, cate un patratel care nu era marcat anterior, pana pe tabla sunt $k$ patratele marcate.
O asezare a unor "forme $L$" pe patratelele ramase nemarcate pe tabla se numeste $buna$ daca fiecare piesa acopera exact trei patratele unitate nemarcate si oricare doua piese nu se suprapun.
Jucatorul $B$ castiga daca orice asezare $buna$ a unor "forme $L$" lasa neacoperite cel putin trei patratele unitate nemarcate. Determinati valoarea minima a lui $k$ pentru care $B$ are strategie castigatoare.
JBMO 2015 Enunturi
-
- Mesaje: 216
- Membru din: Mar Iul 05, 2011 8:48 pm
Înapoi la “Olimpiada Balcanica pentru Juniori”
Mergi la
- Concurs de Matematica MathTime
- Problema zilei
- Discutii pe clase
- ↳ Clasa a V-a
- ↳ Teorie
- ↳ Probleme
- ↳ Clasa a VI-a
- ↳ Teorie
- ↳ Probleme
- ↳ Clasa a VII-a
- ↳ Teorie
- ↳ Probleme
- ↳ Clasa a VIII-a
- ↳ Teorie
- ↳ Probleme
- ↳ Clasa a IX-a
- ↳ Teorie
- ↳ Probleme
- ↳ Clasa a X-a
- ↳ Teorie
- ↳ Probleme
- ↳ Clasa a XI-a
- ↳ Teorie
- ↳ Probleme
- ↳ Clasa a XII-a
- ↳ Teorie
- ↳ Probleme
- Juniori II
- ↳ Algebra
- ↳ Combinatorica
- ↳ Teoria Numerelor
- ↳ Inegalitati
- ↳ Geometrie
- Juniori
- ↳ Algebra
- ↳ Combinatorica
- ↳ Teoria Numerelor
- ↳ Inegalitati
- ↳ Geometrie
- EGMO
- ↳ Algebra
- ↳ Combinatorica
- ↳ Teoria Numerelor
- ↳ Inegalitati
- ↳ Geometrie
- Seniori
- ↳ Algebra
- ↳ Combinatorica
- ↳ Teoria Numerelor
- ↳ Inegalitati
- ↳ Geometrie
- Probleme marca "Panaitopol"
- Tabara MathTime
- ↳ Juniori
- ↳ Seniori
- Teme pentru cercurile de elevi
- Olimpiada de Matematica
- ↳ Judeteana
- ↳ Nationala
- Resurse
- ↳ Olimpiada Internationala de Matematica
- ↳ Olimpiada Balcanica de Matematica
- ↳ Teste de Selectie Seniori
- ↳ Olimpiada Balcanica pentru Juniori
- ↳ Teste de Selectie Juniori
- ↳ Olimpiada Nationala de Matematica
- ↳ Olimpiade Locale
- ↳ Alte concursuri
- Chat de voie
- Recenzii la carti
- Revista
- LaTeX
- In memoriam