JBMO 2015 Enunturi

Doctor Gil
Mesaje: 216
Membru din: Mar Iul 05, 2011 8:48 pm

JBMO 2015 Enunturi

Mesaj de Doctor Gil »

Problema 1. Determinati toate numerele prime $a,b,c$ si numerele naturale $k$ care satisfac egalitatea

$a^2+b^2+16c^2=9k^2+1$

Problema 2. Fie $a,b,c$ numere reale pozitive astfel incat $a+b+c=3$. Determinati valoarea minima a expresiei.

$A=\dfrac{2-a^3}{a}+\dfrac{2-b^3}{b}+\dfrac{2-c^3}{c}$

Problema 3. Fie $\triangle{ABC}$ un triunghi ascutitunghic. Dreptele $l_1$ si $l_2$ sunt perpendiculare pe dreapta $AB$ in punctele $A$, respectiv $B$. Perpendicularele duse din mijlocul $M$ al segmentului $[AB]$ pe dreptele $AC$ si $BC$ intersecteaza dreptele $l_1$ si $l_2$ in punctele $E$, respectiv $F$.
Daca $D$ este punctul de intersectie al dreptelor $EF$ si $MC$, aratati ca $\angle{AMB}\equiv\angle{EMF}$.

Problema 4. O "forma $L$" este oricare din urmatoarele patru piese. fiecare constand din trei patratele unitate:

Se dau: o tabla $5\times 5$, constand din $25$ de patratele unitare, un numar natural nenul $k\leq 25$ si o colectie nelimitata de "forme $L$".

Doi jucatori $A$ si $B$ joaca urmatorul joc: incepand cu $A$, ei marcheaza alternativ, cate un patratel care nu era marcat anterior, pana pe tabla sunt $k$ patratele marcate.

O asezare a unor "forme $L$" pe patratelele ramase nemarcate pe tabla se numeste $buna$ daca fiecare piesa acopera exact trei patratele unitate nemarcate si oricare doua piese nu se suprapun.

Jucatorul $B$ castiga daca orice asezare $buna$ a unor "forme $L$" lasa neacoperite cel putin trei patratele unitate nemarcate. Determinati valoarea minima a lui $k$ pentru care $B$ are strategie castigatoare.
Scrie răspuns