JBMO 2015 Enunturi

JBMO 2015 Enunturi

Mesajde Doctor Gil » Sâm Iun 27, 2015 1:18 pm

Problema 1. Determinati toate numerele prime a,b,c si numerele naturale k care satisfac egalitatea

a^2+b^2+16c^2=9k^2+1

Problema 2. Fie a,b,c numere reale pozitive astfel incat a+b+c=3. Determinati valoarea minima a expresiei.

A=\dfrac{2-a^3}{a}+\dfrac{2-b^3}{b}+\dfrac{2-c^3}{c}

Problema 3. Fie \triangle{ABC} un triunghi ascutitunghic. Dreptele l_1 si l_2 sunt perpendiculare pe dreapta AB in punctele A, respectiv B. Perpendicularele duse din mijlocul M al segmentului [AB] pe dreptele AC si BC intersecteaza dreptele l_1 si l_2 in punctele E, respectiv F.
Daca D este punctul de intersectie al dreptelor EF si MC, aratati ca \angle{AMB}\equiv\angle{EMF}.

Problema 4. O "forma L" este oricare din urmatoarele patru piese. fiecare constand din trei patratele unitate:

Se dau: o tabla 5\times 5, constand din 25 de patratele unitare, un numar natural nenul k\leq 25 si o colectie nelimitata de "forme L".

Doi jucatori A si B joaca urmatorul joc: incepand cu A, ei marcheaza alternativ, cate un patratel care nu era marcat anterior, pana pe tabla sunt k patratele marcate.

O asezare a unor "forme L" pe patratelele ramase nemarcate pe tabla se numeste buna daca fiecare piesa acopera exact trei patratele unitate nemarcate si oricare doua piese nu se suprapun.

Jucatorul B castiga daca orice asezare buna a unor "forme L" lasa neacoperite cel putin trei patratele unitate nemarcate. Determinati valoarea minima a lui k pentru care B are strategie castigatoare.
Doctor Gil
 
Mesaje: 216
Membru din: Mar Iul 05, 2011 8:48 pm

Înapoi la Olimpiada Balcanica pentru Juniori

Cine este conectat

Utilizatorii ce navighează pe acest forum: Niciun utilizator înregistrat şi 1 vizitator

cron